几何方法
1. x,y∈R, x+y=3(sqrt(x+1)+sqrt(y+2)), 求(x+y)min.
解：令u=sqrt(x+1), v=sqrt(y+2), 即求(u^2+v^2-3)min
原式<=>3u+3v=u^2+v^2-3
<=>(u-3/2)^2+(v-3/2)^2=15/2
即求(0,0)到圆心为(3/2,3/2), 半径为sqrt(15/2)的圆在第一象限的部分任意一点的线段的最小值的平方-3
作图可知当u=0或v=0时u^2+v^2-3取到最小值11/2+3sqrt(21)/2
即当x=-1或y=-2时, x+y取到最小值11/2+3sqrt(21)/2.

代数变换
2. (2011 USAMO Q1) a,b,c∈R+, a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2<=4. 证明∑(ab+1)/(a+b)^2>=3.
证明: 令u=a+b, v=b+c, w=c+a, 则条件转化为∑u^2≤4.
∑(ab+1)/(a+b)^2≥3
<=>∑((u+v-w)(u+w-v)/4+1)/u^2≥3
<=>∑((u+v-w)(u+w-v)+4)/u^2≥12
<=>∑((u+v-w)(u+w-v)+∑u^2)/u^2≥12
<=>∑(2u^2+2vw)/u^2≥12
<=>2∑vw/u^2≥ (AM-GM)
等号当且仅当vw/u=wu/v=uv/w, 即a=b=c时取得.