作者：DTSIo Shao
链接：http://www.zhihu.com/question/20146597/answer/30581303
来源：知乎
在数学中, "变分学"一般不当作一个专门的分支, 而是作为一大类处理分析学问题的方法而出现的. 在理论物理中, 一般只关注Euler-Lagrange方程, 但是在稳定相位等等问题中还需要关注更加艰深的的内容.变分方法在理论中永远不会过时, 但是在教材中很难涉及到变分法中比较高级的内容. 原因很简单: 这些高级内容太难了. 一般的数学物理教材仅仅止步于Euler-Lagrange方程. 所谓"泛函分析(教材)不关注变分法"也是类似的原因: 因为线性泛函分析基本上是线性代数在无穷维空间上面的推广(尽管无穷维空间同有穷维的有极其本质的区别), 所以它其实关注不到变分问题关心的能量泛函等等非线性的泛函. 而非线性泛函分析一般是不能纳入First Course in Functional Analysis这样的书里面的, 因为一来没有太系统化的理论, 二来太过艰深.我姑且来简要介绍一下和变分方法相关的数学问题.偏微分方程: 这方面有一本特别艰深的书: Multiple Integrals in the Calculus of Variations, 作者是Morrey, 内容上基本上是关注变分问题解的正则性理论. 问题的大致形式如下:给定一个泛函:(其中u一般要求是Sobolev函数), 何时这泛函能够达到(局部) 极值? 极值函数的正则性(可积性, 连续性, 可微性或者解析性) 如何? 它属于偏微分方程的近代理论中非常艰深的一部分. 它的应用自然是很广泛的, 比如著名的Plateau问题(极小曲面问题). 微分几何: 一个著名的例子是Jacobi 场问题. 它关注的是变分问题解的"整体"性质: 变分问题中泛函的临界点什么时候是整体的最小值点? 就单变量函数的情形, 我们就知道, 有非极值点的临界点.