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作者:DTSIo Shao
链接:http://www.zhihu.com/question/20146597/answer/30581303
来源:知乎
在数学中, "变分学"一般不当作一个专门的分支, 而是作为一大类处理分析学问题的方法而出现的. 在理论物理中, 一般只关注Euler-Lagrange方程, 但是在稳定相位等等问题中还需要关注更加艰深的的内容.变分方法在理论中永远不会过时, 但是在教材中很难涉及到变分法中比较高级的内容. 原因很简单: 这些高级内容太难了. 一般的数学物理教材仅仅止步于Euler-Lagrange方程. 所谓"泛函分析(教材)不关注变分法"也是类似的原因: 因为线性泛函分析基本上是线性代数在无穷维空间上面的推广(尽管无穷维空间同有穷维的有极其本质的区别), 所以它其实关注不到变分问题关心的能量泛函等等非线性的泛函. 而非线性泛函分析一般是不能纳入First Course in Functional Analysis这样的书里面的, 因为一来没有太系统化的理论, 二来太过艰深.我姑且来简要介绍一下和变分方法相关的数学问题.偏微分方程: 这方面有一本特别艰深的书: Multiple Integrals in the Calculus of Variations, 作者是Morrey, 内容上基本上是关注变分问题解的正则性理论. 问题的大致形式如下:给定一个泛函:(其中u一般要求是Sobolev函数), 何时这泛函能够达到(局部) 极值? 极值函数的正则性(可积性, 连续性, 可微性或者解析性) 如何? 它属于偏微分方程的近代理论中非常艰深的一部分. 它的应用自然是很广泛的, 比如著名的Plateau问题(极小曲面问题). 微分几何: 一个著名的例子是Jacobi 场问题. 它关注的是变分问题解的"整体"性质: 变分问题中泛函的临界点什么时候是整体的最小值点? 就单变量函数的情形, 我们就知道, 有非极值点的临界点.


IP属地:安徽来自Android客户端1楼2016-01-30 13:03回复
    这种临界点是很难处理的. 举例来讲, 考虑赋予标准度量的二维球面, 在上面给定两个点, 则连接两点的球面曲线长度是否有最小值? 是否存在唯一的曲线达到这个最小值? 翻译成变分问题, 就是要寻找一条道路, 使得泛函达到极小. 这是平面上"两点之间直线段最短"往一般的Riemann流形上的推广. Jacobi场问题能够比较清楚地研究这个泛函达到极小的可能性, 以及使得长度极小的曲线的唯一性. 几何分析: 基本上是偏微分方程中变分方法在微分流形上的应用, 但是因为背景空间不是Euclidean空间, 所以比单纯的偏微分方程问题还要困难得多. 这方面的例子简直不胜枚举. 应用比较广泛的一个是调和映照问题(参考丘成桐的调和映照讲义); 刚才提到的曲线问题可以看成是它的一个特殊情形. 它针对的是两个Riemann流形之间的映射. 对于两个流形之间的映射, 可以定义其能量泛函. 这能量泛函的临界点就称作调和映照.


    IP属地:安徽来自Android客户端2楼2016-01-30 13:08
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      DTSlo大神确实令人钦佩


      IP属地:广东来自Android客户端4楼2016-01-30 18:28
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        你同不同意我发外交贴壮大此吧


        IP属地:四川5楼2016-12-04 16:48
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          这里为什么。。。


          来自Android客户端6楼2016-12-04 17:31
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