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【二稿】常用积分技巧(不定积分部分)

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  • mutong19970320
  • 氢氧化钡
    12
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这是个稿,正贴这一楼应该放镇楼图。
当然应该有一段话,诸如:
“提问积分必看,你有不看的权力,与此同时,我们就有了让你的提问不被人看见的权利。”
另外,题目上应该体现出上面一句的意思。撰文期间,注意适当的使用红色粗体字,以强调分节,题号。我需要保持一定的威♂严,所以行文不要黑我太严重,多谢配合。


  • mutong19970320
  • 氢氧化钡
    12
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序
对于吧内“被高数题淹没”的可悲境地,我想,该用什么方法处理一下了,这在很早以前就开始酝酿了。最早是九月份的时候,那是大学新生开始学习高数的开始,由于思维的快速转变,许多学生跟不上思路,于是极限题泛滥就成为了自然而然的事情,事实上每年这个时候都会如此,于是我试着提出了一个解决方案,将常用的极限技巧总结出来,长期直播,并将简单的问题限制在这个帖子里面,这收效显著。甚至吧内的氛围指数都有所提升,这是令人惊喜的,虽然损失了铺天盖地的发帖,但是更有讨论价值的帖子也就不至于很快沉下去了,集中在直播贴的问题,据我统计,大多都得到了一定的回答,所以这是一举两得的。这个帖子恰似巴比伦通天塔,有需求的人甚至可以住在里面。之后,我在准备这个极限帖子的时候,就让碱君开始撰写积分技巧的帖子(【入门向】论如何调♂教不听话的积分,参见:http://tieba.baidu.com/p/4118949180),大约在十月中旬这个帖子完工,我在十一月的一段时间里直播了这个帖子,当时正值多数学校讲到不定积分。但是,收效没有极限部分好,这背后的原因是复杂的,虽然这个帖子写的很亲民,但是有一点,该贴的理论框架性太强了(这与碱君是数学系也有关系),致使多数学高数的需要技巧的吧友得不到太多的借鉴,所以我一直思考将这一贴扩充。
这个帖子不太适合由我完成,我向来更注重理论框架的连续优美,而非技巧,而且我有段时间没做大量的微积分题,手生的很,所以这个计划一直搁浅了。大约是期中考试之后,我对一个朋友说了这件事,也就是这楼的楼主,他做过很多题,熟能生出百巧来,况且他本身天资过人,在微积分的技巧上完全可以碾压我。我以一顿饭为报酬,向他提出了我的请求。大约一个星期,这个帖子的初稿呈现在我面前。帖子的技巧性很高,选题也很有广泛性和代表性(包括许多无理函数积分问题,和有一些关不可积的判定),步骤也精炼有重点,难度自然不小,但是美中不足就是缺乏承接与解释,对于学的好的学生来说,这是绝不拖泥带水,很漂亮。但是对于一般程度的学生,看起来就很费劲,于是我补充了关于换元法和分部积分的简单例子和思想主线,用了比较轻松的语言风格,这使得这个帖子的文风突转,对于程度一般的同学,可以先看看我写的部分,对于程度好一点的同学,也可以略过我的部分。


2025-06-14 13:55:22
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  • mutong19970320
  • 氢氧化钡
    12
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目录
第一部分
不定积分概述
第一类换元法
三角常用公式
第二类换元法
分部积分法
第二部分
换元积分法
分部积分法
有理函数积分
真分式分解定理
奥斯特罗格拉茨基方法
分式线性代换
欧拉恒等式代换
某些无理函数的积分
分式线性函数根式:R{x,((ax+b)/(cx+d))^(1/s),...,((ax+b)/(cx+d))^(1/r)}
二次函数根式:R{x,(ax^2+bx+c)^(1/2)}
类奥斯特罗格拉茨基方法
分式线性代换
欧拉代换
切比雪夫定理——无理函数可积性判定
三角函数积分
万能代换
降次递推公式
辅助角公式应用
一些常用三角函数积分
超越函数与多项式乘积的积分
常见初等不可积函数


  • mutong19970320
  • 氢氧化钡
    12
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可以带入几个特殊值,然后求解线性方程组,得到分子上的待定系数。

也可以通过比较x 的同次幂系数求得。

————————————————————————————————————————
mutong注:
关于有理函数积分的技巧,在这里用复分析的角度给于解释:
对于任何复有理函数,可以化为(参见《复分析》(中文版第三版,机械工业出版社,Ahlfors,23~25):

其中Q是有理函数,G是多项式,G_j是无常数的多项式,β是Q的零点和极点,按重根计共有q个。注意到对于实数,其零点必为共轭的(对上式取共轭即可说明),所以对于相应的共轭的G_j可以转化为负二次分式。


  • mutong19970320
  • 氢氧化钡
    12
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目录



第一部分
不定积分概述
第一类换元法
三角常用公式
第二类换元法
分部积分法

第二部分
换元积分法
分部积分法
有理函数积分

-真分式分解定理
-奥斯特罗格拉茨基方法
-分式线性代换
-欧拉恒等式代换
某些无理函数的积分
-分式线性函数根式:R{x,((ax+b)/(cx+d))^(1/s),...,((ax+b)/(cx+d))^(1/r)}
-二次函数根式:R{x,(ax^2+bx+c)^(1/2)}
-类奥斯特罗格拉茨基方法
-分式线性代换
-欧拉代换
-切比雪夫定理——无理函数可积性判定
三角函数积分
-万能代换
-降次递推公式
-辅助角公式应用
-一些常用三角函数积分
超越函数与多项式乘积的积分
常见初等不可积函数


  • mutong19970320
  • 氢氧化钡
    12
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首先我们要学不定积分,那到底什么是不定积分,貌似有人学完了也不知道。我相信只有知道定义,才能理解定义(这不是废话吗,但是仔细想想,有多少人废话都没遵守)虽然不定积分都是特技,但是不知道来源总是不好的,这限制你进一步发展。什么是不定积分,导数的逆运算就叫做不定积分,所以说,任何求不定积分的技巧都是建立在对导数的逆向工程上的。
微积分上最厉害的技巧,无过于“注意到三段式”:
注意到F'(x)=f(x)
其中F(x)=...
所以∫f(x)=F(x)+C
我们举个例子:

这是非常有效率的做法,虽然我们很可能这辈子都注意不到,但是事实上,求不定积分的各种技巧只是将这个大的注意到变成若干小的注意到而已,所以说,以经验为基础的注意到,是不定积分求解之本。
值得注意,17、18世纪大量数学家将自己宝贵的青春奉献给了给出各种各样的积分的初等表达,得到了许多巧妙的技巧(后面将介绍的,都是有代表性的技巧),但是后来得到证明,不是所有的初等函数都可以表达成初等形式,这时我们就引入一个“高等函数”,最典型的在这里有几个例子,见“一些非初等函数的定义”。事实上,想把积分表达成初等形式多半只是出于完美主义的追求,这是没有必要的。
由于不存在一种通用算法证明一个积分的原函数是否初等(D.Richardson于1968年得出),而且大多数判定应用的理论十分高深,所以最好的办法就是只做那些有答案的题。对于某些没法判断时候,我建议扔到下面两个引擎里面求一下:
wolfram|alpha:http://www.wolframalpha.com/
numberempire:http://zh.numberempire.com/integralcalculator.php
注意,第一个网站很容易崩。


  • mutong19970320
  • 氢氧化钡
    12
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开始一楼应该红字粗体声明:
这个帖子下面可以提问积分题,难度不限,谁来回答,我不知道,但是我写的部分可以秒出答案的,单独发帖吧务就会删。看完之后,如果还不能解决你的问题,你再发帖提问(当然你都考上大学了,我们认为你智商比较正常,我介绍了的典型问题你再问我们就删),当然后一部分讲的都是普遍方法,对于寻求技巧的问题发帖求问,有价值的(有吧务组判断),将会保留。
另外,此贴欢迎补充。


  • N_a_O_H_
  • 铯爱上水
    15
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差点以为走错吧。(


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