【草稿】常用积分技巧（不定积分）

首先我们要学不定积分，那到底什么是不定积分，貌似有人学完了也不知道。我相信只有知道定义，才能理解定义（这不是废话吗，但是仔细想想，有多少人废话都没遵守）虽然不定积分都是特技，但是不知道来源总是不好的，这限制你进一步发展。什么是不定积分，导数的逆运算就叫做不定积分，所以说，任何求不定积分的技巧都是建立在对导数的逆向工程上的。
微积分上最厉害的技巧，无过于“注意到三段式”：

我们举个例子：

这是非常有效率的做法，虽然我们很可能这辈子都注意不到，但是事实上，求不定积分的各种技巧只是将这个大的注意到变成若干小的注意到而已，所以说，以经验为基础的注意到，是不定积分求解之本。
值得注意，17、18世纪大量数学家将自己宝贵的青春奉献给了给出各种各样的积分的初等表达，得到了许多巧妙的技巧（后面将介绍的，都是有代表性的技巧），但是后来得到证明，不是所有的初等函数都可以表达成初等形式，这时我们就引入一个“高等函数”，最典型的在这里有几个例子，见“一些非初等函数的定义”。事实上，想把积分表达成初等形式多半只是出于完美主义的追求，这是没有必要的。
由于不存在一种通用算法证明一个积分的原函数是否初等（D.Richardson于1968年得出），而且大多数判定应用的理论十分高深，所以最好的办法就是只做那些有答案的题。对于某些没法判断时候，我建议扔到下面两个引擎里面求一下：
wolfram|alpha：http://www.wolframalpha.com/
numberempire：http://zh.numberempire.com/integralcalculator.php
注意，第一个网站很容易崩。

一类换元法
伟大的先知莱布尼茨发明的微分算子d实在是微积分中最大的技巧，这背后加上Stieltjes （斯蒂尔切斯）的理论就变得坚如磐石，我们学微积分，必须了解一类换元法，我们先来看一下什么是一类换元法（由于懒，从同济高数上截的图）：

（u确实可以理解为一个函数，但需要Stieltjes积分论解释，当然对于不定积分技巧，这是无所谓的。）
略去积分号，我们可以看得更清楚：

这其实就是把复杂的积分分步做完了，注意是分“步”和后面的分“部”是不一样的。
大多数我们做到的积分问题都是通过一类换元法解决的，堪称一元微积分最重要的方法，没有之一。
先看个有代表性的：

（注：红字部分也可写作d(1+x ln x)）
然后看看有技巧的，当然这种技巧，只能靠时间去积累经验，见得多了自然就触发了灵感，所以我在这里提供几个重要的凑微分（就是让你对常见函数的导数熟悉），我先列一下基本微分公式（由于懒，从同济高数上截的图）：

然后我再列几个：

这体现出积分的时候要倒过来看，而且要结合函数形式配凑：

对于三角函数的积分，三角恒等式依然是重要的，熟练掌握各种三角代换，是处理三角函数积分问题的有力手段，我列一些重要的三角恒等式：
以最简单的后面函数名的定义开始，虽然基础，但是要注意在表达上的拆分与合并，积分才能积出来：

和角公式：

倍角公式：

和差化积：

积化和差：

这些公式应该记住，在积分中有许多应用，比如：

再如：

二类换元法
对于第二类换元法，其应用一般有二，一是处理根式，二是将繁杂结构换为简单结构。我们看一下什么是第二类还原法（由于懒，从同济高数上截的图）：

一类换元法和二类换元法是互逆的，而且其实是互相替代的，但是思维上的顺序不同，比如说：

我们再用第二类换元法：

虽然步骤差不多长，但是第一个要注意如何凑微分，在复杂的情况下就十分困难，这也就是换元法的好处，比如说：

此题若使用凑微分，其思维量是不敢想象的。
对于典型的根式，二类换元是自然而然的，最有代表性的就是：

其他情况要具体问题具体分析，但要注意积累典型情况，比如这个：

启示我们应该将复杂分母转化为分子拆分。
注：虽然原则上可以用有理函数积分解决此题，但是运算繁杂，这东西不是一般人可以注意到的：

分部积分法
分部积分是一个很常用的方法，他在公式推演中的作用可能是比两类换元法更加常见的，比如我们可以欣赏一下朗道对板的弹性自由能的推演过程。对于不定积分，对许多形式简单的函数，两类换元法却无从下手，这经常表示这个简单函数的不定积分可能比较复杂，比如最简单的ln x的积分却是xln x-x+C，常常令初学者觉得惊奇。当你觉得两类换元法山重水复之时，不妨试试分部积分。首先我们看一下分部积分的形式：

注：第一个是用来算题的，第二个是用来记住形式的。
分部积分的最显著特征是被积函数结构为两个较简单的函数相乘（也可能是单独的一个函数），只要记住积分顺序，分部积分基本上是不经大脑的，你只需要算就可以了。所以我们看一下积分顺序（选择u的优先等级）：
对数函数>反三角函数>代数函数（多项式）>三角函数>指数函数
这是容易理解的，因为前面的被微分可以得到一个简单得多的函数。比如说求x e^x的积分，就选择u=x,v’=e^x，从而u’=1，被积形式得到了简化。
分部积分除了直接使用，还有几种常见的小技巧，如“dv=dx”、（对多项式）辗转多次分部、二类换元法联合分部积分、化积分为代数方程，分部积分对消等。
我逐一举例说明，对于“dv=dx”，也就是将积分中的dx直接看成du，这在求ln x的积分中就用到了。
对于多项式和三角函数（或指数函数）相乘，每次将多项式部分看做u，每次就可以降一次幂，这样迟早可以表达为只含三角函数的积分：

其中P(x)为代数多项式，显然P(x)的导数是减一次多项式。
二类换元法联合，对于积分中的二类换元，有时候可以不求换完元的微分而直接分部积分，比如说：

后半部分的积分计算过程没有给出，可以令tan u=t
后面两种方法在后面出现。
关于有理函数积分的技巧，在这里用复分析的角度给于解释（不是证明）：
对于任何复有理函数，可以化为：

其中Q是有理函数，G是多项式，G_j是无常数的多项式，β是Q的零点和极点，按重根计共有q个。注意到对于实数，其零点必为共轭的，所以对于相应的共轭的G_j可以转化为负二次分式。

第2~6楼为牧童所写，与本人无关。
附：【入门向】论如何调♂教不听话的积分
http://tieba.baidu.com/p/4118949180?share=9105&fr=share
关于积分中“不可积”问题探究
http://tieba.baidu.com/p/3451183085?share=9105&fr=share
关于定积分及广义积分的贴子之后会有人发
以下为不定积分的方法与技巧正文

举几个例子：




此题按有理函数积分求解，x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+√2x+1)(x^2-√2x+1)但此方法更为巧妙

实际上，此题的主要方法为注意到[e^x*f(x)]'=e^x*[f(x)+f'(x)]。
举一个递推的典型例子：

利用循环，我们可以求超越函数的积分：

进一步，我们有：

可以带入几个特殊值，然后求解线性方程组，得到分子上的待定系数。

也可以通过比较x 的同次幂系数求得。

通过大量的练习，我们会发现一些规律。


有时候，我们不需要将分母全部拆开。

可以转化成比较好求的积分。

我们来看一道稍难的题目：


用到了欧拉公式。

对于无理函数的积分，主要方法是将其转化为有理函数。

例如：

实际上，还可以使用双曲代换，但对于双曲函数，并不如三角函数熟悉，故不再说明。