x不等于1，求k的范围

以下是对函数f(x)=\frac{x}{x - 1}-kx^2的图像与x轴有且只有一个交点这一情况的分析：
先对函数进行化简变形
\begin{align*}
f(x)&=\frac{x}{x - 1}-kx^2\\
&=\frac{x}{x - 1}-\frac{kx^2(x - 1)}{x - 1}\\
&=\frac{x - kx^2(x - 1)}{x - 1}\\
&=\frac{x - kx^3 + kx^2}{x - 1}
\end{align*}
分情况讨论
3.当k = 0时：
此时f(x)=\frac{x}{x - 1}，令f(x) = 0，即\frac{x}{x - 1}=0，解得x = 0。
其定义域为x\neq1，所以函数图像与x轴有且只有一个交点(0,0)。
4.当k\neq0时：
函数f(x)与x轴有且只有一个交点，也就是方程\frac{x - kx^3 + kx^2}{x - 1}=0（x\neq1）有且仅有一个解。
方程x - kx^3 + kx^2 = 0（x\neq1），提取公因式x可得x(1 - kx^2 + kx)=0，进一步变形为kx^2 - kx - 1 = 0（x\neq1）。
对于一元二次方程kx^2 - kx - 1 = 0，其判别式\Delta = k^2 + 4k。
令\Delta = 0，即k^2 + 4k = 0，k(k + 4)=0，解得k = 0（舍去，因为前提是k\neq0）或k = - 4。
当k = - 4时，二次方程-4x^2 + 4x - 1 = 0，即(2x - 1)^2 = 0，有且仅有一个解x=\frac{1}{2}，满足函数图像与x轴有且只有一个交点。
综上，k = 0或k = - 4时，函数f(x)的图像与x轴有且只有一个交点。