这个积分是如何看出是圆的表达式的？

你的照片上写得清清楚楚了，还问，叫人如何回答啊？

对于半径 为 r 的圆 u^2 + v^2 = r^2 , 在第一象限， 0 ≤ u ≤ r , 0 ≤ v ≤ r ,
u = ( r^2 - v^2 )^(1/2)
面积元为 dσ = u*dv = ( r^2 - v^2 )^(1/2) * dv
圆在第一象限内的面积为
( 0, r ) ∫ ( r^2 - v^2 )^(1/2) * dv
取 r = e^x , v = y , 则
( 0, r ) ∫ ( e^(2x) - y^2 )^(1/2) * dy
这就是你照片上的东东