1、傅里叶级数为周期信号的分解，本身是一列不同频率的cos函数序列

利用欧拉公式转到指数形式

然后人为定义在负半轴的情况，扩展到[-N,N]上，实际负半轴无明显物理意义

2、傅里叶级数系数计算为

总表达式为

注意到公式中包含ck绝对值和角度，分别为幅度谱和相位谱

3、傅里叶变换用于非周期信号
正变换

逆变换

注意到存在指数形式算子，其中含有j，因此傅里叶变换后结果理应在复数域中，并有对应的幅值和角度

4、发现对于矩形脉冲信号，傅里叶变换后为sinc函数，在实数域中。
经过计算，对于矩形脉冲，其傅里叶变换后，虚部被消除，因此仍为实数域，并非进行了abs。
扩展计算，对于频域中的矩形窗口函数，其傅里叶逆变换仍为实数域，因此不存在复数情况，这将应用于之后的采样定理中信号重建过程。

5、关于信号响应
三角函数输入，可先利用欧拉扩展到复数，输出为输入与冲击响应的傅里叶变换乘积，再取实部。


周期信号输入，可用傅里叶级数分解为三角函数，再重复上述过程。

非周期信号输入，可将输入、冲击响应均进行傅里叶变换，相乘后进行傅里叶逆变换得到输出。

6、采样定理
利用原信号和采样信号相乘，可以发现采样后傅里叶域图像为原频谱图不断复制延拓所得，周期为采样频率。
而延拓图形怀疑其纵坐标应该为复数域，即实际函数是复数关于频率的函数。

7、采样重建
重建过程，为在傅里叶域加入矩形窗口，与傅里叶域采样信号相乘，取出单个周期。转换为时域也就是与采样信号进行卷积。

计算可得采样重建公式

由于傅里叶域矩形窗口进行傅里叶逆变换，仍在实数域中。而该重建方法本质为卷积，仅利用傅里叶域进行分析，因此不存在结果转变为复数的情况。因此重建结果在实数域中。

8、离散时间傅里叶变换DTFT

其中Ω=ωT，因此此处指数为-jωnT，相当于傅里叶变换-jωt的t进行离散化。
根据采样定理时的内容发散，可知离散后的傅里叶变换关于ω为周期函数，周期为2π/T。因此此处Ω=ωT相当于把变换后的图像压缩到了2π的范围中。

9、离散时间傅里叶逆变换

由于Ω为连续，因此逆变换使用积分，而不是累加。由于DTFT为2π周期函数，单个周期即反映了原信号特征，因此积分只积2π范围。

10、离散时间傅里叶变换横坐标意义
由于DTFT相当于对周期T、频率ωs的离散信号傅里叶变换，每个周期压缩到了2π的范围内，因此DTFT中π对应于CTFT中ωs/2，因此Ω=2πω/ωs，或者ω=Ωωs/2π。

11、离散傅里叶变换与逆变换
对于计算机系统，只能处理有限长度序列，因此在DTFT基础上对频率进行离散化，引入DFT概念。

DFT计算结果为一个N点序列，N为原始离散信号点数，N应为人为定义。
离散傅里叶逆变换IDFT

12、DFT与DTFT关系
与DTFT比较，发现对于DFT，

DFT可以看做对DTFT的频率采样，或者Xk等于频率点Ω=2πk/N处DTFT的值。
注意到DFT是对0~2π处DTFT变化，因此电脑绘图时，序列图像对称，且低频在两边，高频在中间。这也符合FFT计算，因此Matlab中还需要fftshift操作。

13、循环位移、时间反折、乘以复指数
由于DFT取有限长度序列，因此对于序列变换，必须满足在该有限长度之内。
循环位移，圆周位移，记为x[n-q, mod N]
时间反折，记为x[-n, mod N]
乘以复指数，相当于在频率域进行循环位移

14、快速傅里叶变换FFT
FFT运算结果同DFT，但FFT算法效率更高。对于DFT，算法需要进行N^2次乘法，对于FFT，算法需要(Nlog2(N))/2次乘法。
基本思想，将序列点按奇偶顺序分别进行计算，再组合（事实上不一定分为奇偶两类，而可以更多）
先定义
则DFT公式转换为
因此可以对其进行奇偶点拆分后分别计算

最后可以归纳，注意到该公式只处理了前一半序列的计算情况

后一半序列情况如下

之后对Ak、Bk也可以继续进行FFT运算，通过递归完成计算。