原文地址：http://q-math.com/viewtopic.php?f=17&t=269
级数判敛的方法众多，总结起来就有比较判别法，比较判别法的极限形式，比值判别法，根值判别法，极限判别法，积分判别法，交错级数判敛法以及一个级数收敛的必要条件。对于一个具体的级数，应该应用哪一种方法最有效，这就是一个头疼的问题。我们不可能一个方法一个方法的来试，那样就太浪费时间了。这里我们总结一下一般的原则。
判定一个级数是否收敛的关键，在于迅速确定级数的形式。不同的形式有着不同的有效判别方法。现在我们总结一下，哪些形式应用哪些判别法则。
如果一眼能看出一般项的极限不趋于 0，则级数发散；
如果级数具有形式 ∑1/n^p，那么就是一个 p− 级数。当 p≤1 时发散，当 p>1 时收敛；
如果级数具有形式 ∑a r^n, 那么就是一个几何级数。当 |r|≥1 时发散，当 |r|<1 时收敛；
这两种级数是最基本的级数，后面的几种判别法，差不多都是跟这两种级数做比较而得到的。
如果级数的一般项是 n 的一个代数式（有理分式或者无理分式），那么该级数与某个 p−级数同敛散（极限判别法或者比较判别法的极限形式）。我们只需要在分式中保留关于 n 的最高阶项，所得到的项就是这个 p− 级数的一般项。
或者，简单地说，就是如果一个级数的一般项等价于一个 p− 级数的一般项，则级数与该 p− 级数同敛散；
同上，如果一个级数的一般项等价于一个几何级数的一般项，则级数与该几何级数同敛散；
如果级数含有 n! ，则比值判别法比较有效。 需要注意的是，比值判别法对 p− 级数失效，因而对任何级数一般项 n 的代数式的级数也失效；
如果级数的一般项 a_n=(b_n)^n， 则首先考虑根值判别法；
如果级数的一般项是 n 的函数 f(n) 并且广义积分 \int_{1}^{\infty}f(x)dx 较易求得，则可考虑使用积分判别法。
如果级数含有项 (−1)^n，则是一个交错级数，这时候，必定考虑莱不尼兹判别法（交错级数判别法）。
以下部分是练习题，答案与提示，请参考原文。
级数判敛的方法众多，总结起来就有比较判别法，比较判别法的极限形式，比值判别法，根值判别法，极限判别法，积分判别法，交错级数判敛法以及一个级数收敛的必要条件。对于一个具体的级数，应该应用哪一种方法最有效，这就是一个头疼的问题。我们不可能一个方法一个方法的来试，那样就太浪费时间了。这里我们总结一下一般的原则。
判定一个级数是否收敛的关键，在于迅速确定级数的形式。不同的形式有着不同的有效判别方法。现在我们总结一下，哪些形式应用哪些判别法则。
如果一眼能看出一般项的极限不趋于 0，则级数发散；
如果级数具有形式 ∑1/n^p，那么就是一个 p− 级数。当 p≤1 时发散，当 p>1 时收敛；
如果级数具有形式 ∑a r^n, 那么就是一个几何级数。当 |r|≥1 时发散，当 |r|<1 时收敛；
这两种级数是最基本的级数，后面的几种判别法，差不多都是跟这两种级数做比较而得到的。
如果级数的一般项是 n 的一个代数式（有理分式或者无理分式），那么该级数与某个 p−级数同敛散（极限判别法或者比较判别法的极限形式）。我们只需要在分式中保留关于 n 的最高阶项，所得到的项就是这个 p− 级数的一般项。
或者，简单地说，就是如果一个级数的一般项等价于一个 p− 级数的一般项，则级数与该 p− 级数同敛散；
同上，如果一个级数的一般项等价于一个几何级数的一般项，则级数与该几何级数同敛散；
如果级数含有 n! ，则比值判别法比较有效。 需要注意的是，比值判别法对 p− 级数失效，因而对任何级数一般项 n 的代数式的级数也失效；
如果级数的一般项 a_n=(b_n)^n， 则首先考虑根值判别法；
如果级数的一般项是 n 的函数 f(n) 并且广义积分 \int_{1}^{\infty}f(x)dx 较易求得，则可考虑使用积分判别法。
如果级数含有项 (−1)^n，则是一个交错级数，这时候，必定考虑莱不尼兹判别法（交错级数判别法）。
以下部分是练习题，答案与提示，请参考原文。
