思路一：
设 a=0.999...
则 10a=9.999...
于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,
因此 a=1.
思路二：
由于 1/3=0.333...,
所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...
思路三：
0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列【图片】的所有项之和
根据等比数列的求和公式,【图片】但是，需要强调的是，以上三种思路可以用来帮助你直观理解，但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。
要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。
下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释