【真·科普向】关于“黎曼几何”……

【Chapter 0】
0.1 前言
数学离不开计算，几何尤其如此。
黎曼几何是一门建立在大量的计算基础上的学科。至少计算量比你想象的要大的多。对于高中生，我更愿意解释成：大学的几何课都更像是解析几何，而不是平面几何。虽然不准确，但是大概是这么个意思。
如果让我用一句话告诉你简单的黎曼几何在干什么，我会说成：
“研究什么才叫做真正的弯曲。”
我们先做一个朴素的观察。这也是大家最爱举的例子。平面上面从A走到B，直线方向是最短的路径，并且没有第二条和它一样长的路径。更重要的是，不但每一小段直线都在局部上最短，整条直线在局部上也是最短的。
我们再来看球面。球面上，大圆的圆弧在局部上确实是连接两点最短的路径，但是整体上却不一定（比如超过半圆的圆弧）。并且，球面上的两个点可能有无数条大圆实现它们的最短距离。（试着举个例子？）
这种几何宏观的差异，其实来自于弯曲。换句话说，我们想研究一个曲面的距离函数，它的“局部最短路径”，它的“宏观最短路径”，它的“最短路径”的走向等等，进而对于弯曲有一个直接的描述。
但是，球面弯曲是被你看到了的。现在让我们想想一张平直的白纸，被卷成了纸筒。
在纸上的一个小范围内能干的事情，卷成筒对直筒都能干；对直筒上一个小范围内能干的事情（比如，小到他不会粘成一个环而是可以被剪刀绕开？），剪开筒还是能干。这个故事告诉我们，如果筒真的真的特别大，如果你生活在筒上，那么其实你根本没有能力区分直筒和平直的纸。
所以现在你还认为直筒是弯的吗？它好像没有那么弯。至少如果我们把它展成平面，它很大程度上可以做和平面一样的事。
球面则不同。球面的很多性质你看看就觉得和平面不一样。因此，球面的弯曲是“内蕴”的，也许我们是球面上的一只蚂蚁（其实我们确实是。），那么，我们有不离开球面就发现球面是“真的弯曲”的方法。
这就是古典微分几何试图告诉我们的，也是黎曼几何的基础。
这个例子很大程度上描绘了黎曼几何所关心的问题：什么量能描绘弯曲，什么量能描绘真正因为自己的结构导致的弯曲（曲率张量），什么量能够描绘它因为放进更高维空间的姿势不太对造成的一些“假弯曲”（第二基本形式）。这些量在多大程度上决定了曲面两点之间的最短路径的形状，分布，什么时候相交，交点有多少，等等。
我会在后面用尽量简单的例子来解释黎曼几何所关心的最简单的问题。希望对你有所帮助。

学长辛苦……我记得黎曼几何应该是重新规定了第五公设而不是推翻（第五公设本身就未被证明或证伪）

0.2 预备知识
【最好学过一些微积分吧……如果没有学过微积分的话，看看例子也是不错的】
（0.2.1）让我们重新考虑一下长度的定义！
假设我们站在曲面上。你面前扔了一根曲线，然后它问你多长。而且假设我们有个坐标系。
那这个事情就非常简单了，学物理竞赛的同学们知道什么叫做微元法，上过一点简单的高等数学可能还知道参数曲线求长公式。其实说白了非常简单，你假设那是条路，有个人在上面跑。跑步的方向肯定是切线方向，跑步的速度我们就当成切向量的长度。所以我们对切向量的长度在时间区间上积分就行了。
特别地，那个速度不是你想当然的，是算出来的。说得更白痴一点，如果你没有个秒表，鬼知道你跑多快啊。
但是现在如果有两个人跑同一条路，他们可能时间分配不一样，但是我们用不同的人来算速度对时间的积分，算出来的长度肯定是一样的，不信你拉你基友跑两圈。
这个在曲线上跑步的小人叫做曲线的参数，我们一般把它在时刻t的位置表示出来，这样的话，我们就可以借助它来算曲线长度。特别地，因为它的任意性很大，我们就可以选一些好算的小人。
比如，匀速的。又比如，在X轴方向一定匀速的但是在Y方向可能跑到死的。【我也觉得它是个神经病。】
上面两个例子，前一种就是弧长参数，因为时间和路程成正比。后一种的话，其实你有没有觉得函数图像求长就是这个道理？
我们在曲面上定义长度就会大致按照上面的方法。具体的细节我会在后面的章节写，因为……远远没有你想得那么简单。
（0.2.2）每个曲面的每一个点，都有一颗变直的心
好了现在我们站在地球上了。
假设我们不考虑大气折射（老子是学数学的啊摔），那么不出意外的话，你能看到一个叫做“地平线”的东西。哦不，每个方向都有地平线，还是叫地平面吧。
所以其实地平面就是再你站立的地方和地球相切的那个平面。我们之所以研究它，不是因为我们指望这个平面把这个弯弯的曲面掰直【大雾】，而是你有没有觉得，这个平面在描述曲面上“方向”的概念的时候，简直有着得天独厚的条件？
别人问你路，你大手一指。你以为你的指头是个啥啊！那就是个向量啊！向量不是直的吗！看！那边！
所以说，切平面的概念其实对于我们描述曲面非常重要。也是基于这个原因，我们更愿意把曲面上某一点的“方向”直接用那个点的切平面的向量来定义。废话啊要是用曲面自己定义我他妈怎么知道曲面长什么样。
问路的过程也是这样的，切平面给出的方向，你就沿着这个方向走了下去。其实你走了一站路出去之后，那个人指的方向就失去了意义，因为你的位置变了，你的所有方向都要在新的切平面上讨论。但是至少，我们把一个常识，抽象成了一个数学工具。

扑通！
。。。其实呢个帖子让他自然沉下去就好了。。。

第一部分还能懂 后面就不知道在说什么了

先mark，大作业写完慢慢看

扑通！

扑通_(:_」∠)_

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