有个很有趣的现象。【数学吧】

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有个很有趣的现象。

一个代数恒等式是
(1+a1x)(1+a2x)...(1+anx)=1+(a1+a2+...+an)x+...+(a1a2..an)x^n.
在n=2的时候它是(1+a1x)(1+a2x)=1+(a1+a2)x^2+(a1a2)x^2.
n=3的时候它是(1+a1x)(1+a2x)(1+a3x)=1+(a1+a2+a3)x+(a1a2+a1a3+a2a3)x^2+(a1a2a3)x^3.
我发现，如果把诸ai看成点，ai+aj看成ai与aj连线。aiaj看成aiaj连线上的质点。
aiajak看成一个面（三角形）的质点。
那么系数(a1+a2+a3)，(a1a2+a1a3+a2a3)，(a1a2a3)会符合欧拉恒等式V-E+F=2.
而且在n=2，3，4时都是对的。

送TA礼物

1楼2015-05-12 19:55回复

另外，把1+(a1+a2+...+an)x+...+(a1a2..an)x^n写和式是:∑(k=0,n)[∑(i_1,...,i_k各不相同)[∏(j=1,k)aj]]x^k。
当k=0时[∑(i_1,...,i_k各不相同)[∏(j=1,k)aj]]x^k=1.
取x=-1就会得到交错和∑(k=0,n)[(-1)^k[∑(i_1,...,i_k各不相同)[∏(j=1,k)a(i_j)]]].
如果把∑(i_1,...,i_k各不相同)[∏(j=1,k)a(i_j)]视为某种k维的性质，那上述的交错和形式上就很像欧拉示性数

不过是以1当头。