2015届单元卷数学05答案与解析
1．（理）【答案】B【解析】设令，则，所以函数为，即，所以，．
（文）【答案】B【解析】因为，所以，．
2．【答案】B【解析】，则，，则，故．
3．【答案】B【解析】由为偶函数得，且有两个互为相反的根，设为，显然为极大值，为极小值，所以从而．
4．（理）【答案】C【解析】由条件可得，令可得，结合余弦函数的图像可得，故单调递减区间为．
（文）【答案】C【解析】由条件可得，而时，，，故，则在上递增，故的最大值为．
5．（理）【答案】B【解析】解法一:，
所以，，，故面积比为，解法二：
．
（文）【答案】D【解析】设，由题意得恒成立，即恒成立，因为，所以．
6．【答案】C【解析】设底面半径为r，高为h，则，则该容器的容积为:=3，由，可得，的最大值．
7．（理）【答案】C【解析】，则，故，故，则，在上递增，故的最大值和最小值之和为．
（文）【答案】C【解析】当时，可得，故在上单调递减，所以在上单调递减，由且为奇函数可得，故在上的最大值为，最小值为，最大值与最小值之和为-2．
8．【答案】D【解析】①因为,由函数图象得，存在实数满足,当,所以为函数的极小值点．
②当直线与相切时，直线与函数有两交点，设切点坐标为，，所以，
③由题意，．
∵当xR时，在减函数，对于xR恒成立，即恒成立，恒成立，∴△=，∴．
④当时，，设是曲线上的任意两点，
∵,∴,∴不成立∴的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直．
9．（理）【答案】【解析】因为，所以
所以
（文）【答案】【解析】由题意知由题意，所以所以，切线方程为．
10．（理）【答案】【解析】，故恒成立，则，，则的范围是．
（文）【答案】【解析】，则恒成立，则，即．
11．【解析】：（1）由题意
,；对于，有，∴在区间上为增函数，∴．
（2）设,，所以的最大值为,所以，，即,所以，为的“顶层直线”
12．【解析】（1）由可得，故．则．令可得，的递减区间为，递增区间为极小值为；
（2）（理）由条件得，又，故．
令，则令可得，而当时，；
当时， 故在递减，在递增．最小值为．故，存在m，范围是．
（文），由可得，当时，；当时，，故在上递减，在上递增．极小值为．
13．【解析】（1）设，则，又是奇函数，故，且．
故函数的解析式为；
（2）（理）①当时，由可得，即，令，由可得（舍正根），在上递减，在上递增．的极大值为，而，且当接近于0时，接近于1，故0在上恰有1个根；②当时，显然成立；③当时，由可得，即，由易得无实根．综上可知，恰有2个实数根．
（文）当时，，则，所以，，故切线的方程为．
14．【解析】（1）因为，所以在处的切线方程为；所以在处的切线方程为所以两切线间的距离
（2）由题意，，设，当；当，所以当有极大值，也是最大值．所以，实数的取值范围为．
（3）函数的反函数为，它们的公共定义域为，，设．因为
在单调递增，所以，又设，当所以为的极大值点，即，故，所以函数与其反函数在其公共定义域内的所有差值都大于2．
解法二：函数的偏差
设为的解，则当时,当时，在内单调递减，在上单调递增，
1．（理）【答案】B【解析】设令，则，所以函数为，即，所以，．
（文）【答案】B【解析】因为，所以，．
2．【答案】B【解析】，则，，则，故．
3．【答案】B【解析】由为偶函数得，且有两个互为相反的根，设为，显然为极大值，为极小值，所以从而．
4．（理）【答案】C【解析】由条件可得，令可得，结合余弦函数的图像可得，故单调递减区间为．
（文）【答案】C【解析】由条件可得，而时，，，故，则在上递增，故的最大值为．
5．（理）【答案】B【解析】解法一:，
所以，，，故面积比为，解法二：
．
（文）【答案】D【解析】设，由题意得恒成立，即恒成立，因为，所以．
6．【答案】C【解析】设底面半径为r，高为h，则，则该容器的容积为:=3，由，可得，的最大值．
7．（理）【答案】C【解析】，则，故，故，则，在上递增，故的最大值和最小值之和为．
（文）【答案】C【解析】当时，可得，故在上单调递减，所以在上单调递减，由且为奇函数可得，故在上的最大值为，最小值为，最大值与最小值之和为-2．
8．【答案】D【解析】①因为,由函数图象得，存在实数满足,当,所以为函数的极小值点．
②当直线与相切时，直线与函数有两交点，设切点坐标为，，所以，
③由题意，．
∵当xR时，在减函数，对于xR恒成立，即恒成立，恒成立，∴△=，∴．
④当时，，设是曲线上的任意两点，
∵,∴,∴不成立∴的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直．
9．（理）【答案】【解析】因为，所以
所以
（文）【答案】【解析】由题意知由题意，所以所以，切线方程为．
10．（理）【答案】【解析】，故恒成立，则，，则的范围是．
（文）【答案】【解析】，则恒成立，则，即．
11．【解析】：（1）由题意
,；对于，有，∴在区间上为增函数，∴．
（2）设,，所以的最大值为,所以，，即,所以，为的“顶层直线”
12．【解析】（1）由可得，故．则．令可得，的递减区间为，递增区间为极小值为；
（2）（理）由条件得，又，故．
令，则令可得，而当时，；
当时， 故在递减，在递增．最小值为．故，存在m，范围是．
（文），由可得，当时，；当时，，故在上递减，在上递增．极小值为．
13．【解析】（1）设，则，又是奇函数，故，且．
故函数的解析式为；
（2）（理）①当时，由可得，即，令，由可得（舍正根），在上递减，在上递增．的极大值为，而，且当接近于0时，接近于1，故0在上恰有1个根；②当时，显然成立；③当时，由可得，即，由易得无实根．综上可知，恰有2个实数根．
（文）当时，，则，所以，，故切线的方程为．
14．【解析】（1）因为，所以在处的切线方程为；所以在处的切线方程为所以两切线间的距离
（2）由题意，，设，当；当，所以当有极大值，也是最大值．所以，实数的取值范围为．
（3）函数的反函数为，它们的公共定义域为，，设．因为
在单调递增，所以，又设，当所以为的极大值点，即，故，所以函数与其反函数在其公共定义域内的所有差值都大于2．
解法二：函数的偏差
设为的解，则当时,当时，在内单调递减，在上单调递增，
