各位好，现在就高中数学竞赛中的三角函数内容进行概括和浅谈。似乎此前有过对于三角函数基础部分的谈论，所以就跳过了基础部分整理与讲解。
1. 关于三角函数恒等变换
恒等变换可以用各位熟悉的半角公式（例：tan（α/2）=（1-cosα）/sinα）倍角公式，和差化积公式（略），万能公式如sinα=（2tan（α/2））/（1+tan^2（α/2））等等等等。
且看下面几道例题体会一下用处
（a） 求sin^2 10°+ cos^2 40°+sin10°cos40°的值
由于很容易发现40°-10°=30°，与已知三角函数值联系起来，又由于原式中次数为二次，所以先降次再说。
解：原式=（1-cos20°）/2 +（1+cos80°）/2 +（sin50°-sin30°）/2
再化简后用和差化积公式得到原式=1/2 （3/2 -2sin（80°+20°）/2 ×sin(80°-20°)/2 +sin50°）
最后积化和差得到原式=3/4
从例题中看出解决中等难度或以上题目要对公式灵活应用。
关于本题的拓展，在各类书籍中都有，也许有些老师也会讲到，就是原式=sin^2 10°+sin^2 50°-2sin10°sin50°cos120°=sin^2 120°，猜想：A+B+C=π，sin^B+sin^2 C-2sinBsinC cosA=sin^2A并且继续延伸，这在三角形正弦余弦定理内容中会提到。
（b） 一道同样常见的题目：已知1. sinα+sinβ=3/5 ，2. cosα+cosβ=4/5，求cos（α-β）和sin（α+β）一般采用的方法分别开方相加，相减，和差化积等处理。
解：1式^2+2式^2得cos（α-β）= -1/2，再2式^2-1式^2并和差化积得到2cos（α+β）cos（α-β）+2cos（α+β）=7/25，得到cos（α+β）=7/25，1式2式相乘可以得到sin（α+β）+sin（α+β）cos（α-β）=12/25，sin（α+β）=24/25
由于篇幅不多，不再多叙。
2．关于三角函数图像，性质
本来是不想讲的，要讲也应该在恒等变换之前，但是后来发现难题也不少，就加入进来一些题目，提供思考。总体概况每本书上都有，教材里也有，不多叙述。
（c）（18届俄罗斯中学生数学竞赛）已知θ1+θ2+…θn=π，θi≥0，（i=1,2…n），求max（sin^2 θ1+…sin^2 θn）
此题难度比较高，很灵活。
练习上最后给出的解答是这个样子的：（以下参考自数学奥林匹克小丛书高中卷）
∵sin^2 θ1+sin^2 θ2=4sin^2（θ1+θ2）/2 × cos^2 （θ1-θ2）/2 +cos（θ1+θ2）-cos（θ1-θ2）=2cos^2（θ1-θ2）/2 ×（2sin^2 （θ1/2 +θ2/2） -1）+1+cos（θ1+θ2）
于是容易得出θ1+θ2＜π/2 时，θ1与θ2有1个为0的时候，sin^2 θ1+sin^2 θ2有最大值，当θ1+θ2＞π/2，且| θ1-θ2| 越小时，sin^2 θ1+sin^2 θ2值越大
n=3时，容易得出原式≤9/4，
n≥4时，θ1，2,3,4中必有2个角≤π/2
由之前得出的结论知道，θ1+θ2≤π/2时，θ1，θ2有一个为零，原式有最大值，所以所求最大值转化成了3个角和为π，其正弦值平方最大值问题。又n=2时，原式≤2。
总之，n≥3时，max原式=9/4，且仅当θ1=θ2=θ3=π/3时，θ4=θ5..=θn=0的时候取到等号。
非常的难以想象，是很困难的解答，对技巧性的要求还是不低的。
由于时间和空间的限制，暂时写这么多，未完待续。
参考文献（书籍）：小丛书三角函数，高中数学解题专家（甘大旺著）与平时积累的经验
佛里德里希 冯 克劳塞维茨