一类“难题”的通用解法

作等边三角形ABD，连结CD。 

则AD=AB=AC，∠CAD=80°-60°=20° 

则∠ACD=/2×（180°-20°）=80°，

则∠BCD=∠ACD-∠ACB=30°=∠PCB

又∠DBC=∠ABD-∠ABC=60°-50°=10°=∠PBC

则△PBC≌△DBC


则PB=BD=AB 
则∠BAP=∠BPA=1/2×（180°-40°）=70°， 
则∠PAC=80°-70°=10°

作顶角∠BAC的平分线交CP延长长线于D点

易证以D为顶点的三个角都为120°

则∠ADB=∠PDB=120°

∠ABD=∠PBD=20°

则⊿ABD≌⊿PBD

则BA=BP

则∠BAP=BPA=70°

则∠PAC=10°

有人看了或许会觉得解法巧妙，在我看来一点都不巧也一点都不妙，虽然其中一个解法是我给出的。此题运用了特殊角通过几何变换最终解题，如果问题当中不是特殊角难道此题就无解了？比如把所有角都用字母代替，所以这样题应着眼于其一般化的解法，特殊化的解法是没有生命力的，不够本质的。


事实上这类题目的最一般的方法就是运用三角形边角关系（正/余弦定理）和三角公式解决，如果给出的角是随意给的角，问题同样有解，但可能无法凑出符合几何变换的辅助线（想必不会对于任意角都存在任意的变换吧）。这类题目出题是很容易的，只要根据条件各边角可以确定下来，就可以求出来，随便出题都可以，最具一般性的解法应该是运用边角关系。


数学的作用是将问题简单化，一般化，抽象出本质关系。不是编写偏题难题就是数学，那样的数学恐怕意义不大，不建议出这样的题目。当然这类题目在初中阶段只能运用特殊角进行几何变换，但我认为这样的题目出现在初中意义不大，还是不要做的好，更不要出的好，作为老师应选择好的题目，有训练价值的题目给学生，对于理解数学对于思维有好的启示的问题。







下面给出一般解法：

设∠PAC=x,其它角度标注如图： 

在三角形△ABP、△ABC、△ACP分别用正弦定理：

sin(80°-x)/ sin(60°+x)= PB/AB

sin50°/ sin80°= AB/BC

sin140°/ sin30°= BC/PB

三式相乘得到




Sin(80°-x)/ sin(60°+x)= (sin30°*sin80°)/( sin50°* sin140°)

=(sin30°*sin80°)/( cos40°* sin40°)= (sin30°*sin80°)/(1/2sin80°)=1

则sin(80°-x) = sin(60°+x)

则80°-x=60°+x 或(80°-x)+（60°+x）=180°（舍去）

则x= 10°

分别在△PAB、△PBC、△PCA中， 应用正弦定理：

sin40°/ sin（80°-x）= PA/PB (1)

sin30°/ sin10°= PB/PC (2)

sin(x)/ sin20°= PC/PA (3)

由三式相乘得到方程：

sin40°/ sin（80°-x）* sin30°/ sin10°* sin(x)/ sin20°=1

得到sin40°* sin30°* sin(x) = sin（80°-x）*sin10°*sin20°

这里和解法（一）的区别是选用了不同的三角形应用正弦定理，计算起来比前者麻烦，但同样可求，给出解法（二）意在说明其可解性跟选取三角形无关，能建立起方程即可。

将sin（80°-x）展开后，得到

Cot(x) = (sin30°*sin40°+ sin10°*sin20°*cos80°)/sin10°*sin20°*sin80°

= (2*sin30°*sin20°* cos20°+ sin10°*sin20°*cos80°)/sin10°*sin20°*sin80°

= (cos20°+ sin10°*sin10°)/sin10°*sin80°

=cos10°* cos10°/sin10°*sin80°

=cot 10°

由于X为锐角，则x=10°

题2

等腰△ABC，∠BAC＝120°，D在BC上，∠BAD＝80°，E点在AC上，∠CBE＝10°。求∠ADE＝？


提示：选取三角形△ADE、△ABE、△ABD，计算相对简单， 

经计算得到AD=AE

题3

等腰△ABC，∠BAC＝100°，D在BC上，∠BAD＝80°，E点在AC上，∠CBE＝10°。求∠ADE＝？

提示：选取△ADE、△BDE、△ABE运算相对简单，经计算得到∠ADE=∠CDE


题4

三角形ABC中，AC=CB，角ACB=80度，点O为三角形内一点，且角OAB=10度，角ABO=20度，求角ACO的度数。 
几何解法：取点O关于中轴的对称点D，则角ABD=10，角BAD= 20，AD=DO=OB。再将三角形CBO绕C顺时针旋转80度，得三角形CAE，且三角形ADE是等边三角形，可得，三角形CDO与三角形CDE全等。 所以，角DCO等于40度，角BCO等于20度，角ACO等于60度。（这个几何变换解法来自网友）



题5

三角形ABC中，AC=AB，∠CAB=80°，D为三角形内一点，∠CAD=20°，∠ACD=10° 求∠DBC?

这是一个网友提供的题，我估计是搞错了，本该是题4的吧，但是此题同样有解，三个三角形ACD，ADB，BCD分别运用正弦定理，后即得到角的关系，进而必然可以求出角。




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看不懂但大受震撼