球面上的大圆~

一个过球心的平面和球面方程联立一下

楼主用协变导数为0算的，还是变分求长度极值算的？

球面$S^n$的Levi-Civita联络是$\mathbb{R}^{n+1}$的联络到球面的切空间的投影，也就是$$\nabla_{X}Y(\vec{x})=D_{X}Y(\vec{x})-\langle D_{X}Y(\vec{x}) , \vec{x}\rangle\vec{x}$$, 其中D是欧氏空间的联络，也就是普通的方向导数，设$\gamma$是球面的弧长参数的测地线，于是测地线方程是$$0=D_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}(\gamma)-\langle D_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}(\gamma) , \gamma\rangle\gamma=\ddot{\gamma}-\langle \ddot{\gamma} , \gamma\rangle\gamma$$ $$=\ddot{\gamma}-(\frac{d}{dt}\langle \dot{\gamma} , \gamma\rangle-\langle\dot{\gamma} , \dot{\gamma}\rangle)\gamma=\ddot{\gamma}-(\frac{d}{dt}0-1)\gamma$$, 也就是$\ddot{\gamma}=-\gamma$, 容易解得$\gamma(t)=cost\gamma(0)+sint\dot{\gamma}(0)$.

刚才没看到要用球坐标

其实不如迂回一下，先证明大圆都是测地线。这很容易通过计算它们的加速度得到（加速度垂直于切平面。因为球面的联络诱导自背景空间，所以可知加速度为零）。接着只需证明测地线都是大圆，而这个可以直接由测地线的唯一性定理得到：过一点沿着一个切方向仅有一条测地线，而大圆正好也有这个性质，所以测地线全都是大圆。