10．2 十九世纪：群和晶体学
在19世纪，一个重要的数学概念逐渐形成，它后来成为数学中最深刻的概念之一．这就是群的概念．虽然有些数学家早已有群的概念，但在1830年，是伽罗瓦（Galois，1811～1832）以其对五次多项式方程不可解性的出色解决，显示了这一概念的威力．因此，人们一般都说伽罗瓦首创了群的概念．该概念在19世纪后期获得了广泛的发展．在19世纪80年代，索菲斯·李（Sophus Lie，1842～1899）推广了群的思想，创造了连续群或李群理论．群和连续群的概念是对称概念的最好的数学表示．
在物理学中，晶体学是一个重要的研究领域．将晶体分类是很自然的，同一晶类的晶体具有许多相同的力学特性、热特性和电特性．晶类与数学的群论的关系并不是显而易见的．经过了数十年的发展，才终于在1890年左右得出了晶体学家费多洛夫（Fedorov，1853～1919）以及数学家熊夫利（Schonflies，1853～1928）和巴洛（Barlow，1845～1934）的结论：每一个晶类都与一个空间群联系在一起，在三维中恰恰有230个不同的空间群．因此，存在着230个不同的晶类．
详细描述这一极其漂亮和十分有用的发展要用太多的篇幅．不过，我们可以阐明在二维条件下解决同一数学问题的精神．图10－8（a）表示一个简单的正方形格子，我们想象它向四面无限延展．它具有许多对称：如果把图形向右移一个单位，或向上移三个单位，或向下移一个单位接着向左移两个单位等等，该格子依然保持不变．这些位移或它们的组合称为格子的对称元素．还有其它的对称元素：绕一个角旋转90°或180°等，绕任何正方形的中心旋转90°或180°等，这一切使得格子依然是不变的．这些元素也是对称元素．人们也能够相对于任一垂直线或任一水平线反演格子，或者相对于两条垂直线之间的任何中线反演格子．所有这些元素也都是对称元素．此外，如果人们相对于通过许多格子点的45°线反演格子，那么也能得到对称元素．这一切对称元素在一起构成一个群，即二维空间群．我们说，图10-8（a）属于这个空间群，反之亦然．
现在，让我们转向图10－8中的格子（b）．这个延展到无穷的格子也具有对称元素．事实上，格子（a）的所有不包括反演的对称元素也是格子（b）的对称元素，这一点容易通过检验来证实．任何反演不会使格子（b）保持不变，是因为反演总是从字母d翻转到字母b，而b在格子（b）中是找不到的．因此，反演不是格子（b）的对称元素．这样一来，我们证明了格子（b）的空间群不同于而且小于格子（a）的空间群．
图10-9展示了十七个不同的图样，其中每一个我们都想象延展到无穷．它们形成象浴室中的马赛克那样的图样．每一个图样都有它自己的空间群．第三排中心的图样与图10－8的格子（a）具有相同的空间群．它的右边的图样与图10-8的格子（b）具有相同的空间群．容易证实，属于这十七个图样的十七个不同的空间群都是不同的．这十七个空间群是二维空间中仅有的空间群，这点是可以证明的，但这个证明并非轻而易举．它是早先提到的定理——在三维中有230个空间群——的推广．（在历史上，首先解决的是三维的问题．推广到比较容易的二维问题是后来解决的，这显示了这些研究的物理实用起源．）
应用群论分析晶体学中的对称概念，是向物理学家提供抽象数学群概念的雅致和威力的第一个例证．另外的例子在20世纪接踵而至，它们深刻地影响了基本物理学发展的进程，我们紧接着将略述这一切．
在19世纪，一个重要的数学概念逐渐形成，它后来成为数学中最深刻的概念之一．这就是群的概念．虽然有些数学家早已有群的概念，但在1830年，是伽罗瓦（Galois，1811～1832）以其对五次多项式方程不可解性的出色解决，显示了这一概念的威力．因此，人们一般都说伽罗瓦首创了群的概念．该概念在19世纪后期获得了广泛的发展．在19世纪80年代，索菲斯·李（Sophus Lie，1842～1899）推广了群的思想，创造了连续群或李群理论．群和连续群的概念是对称概念的最好的数学表示．
在物理学中，晶体学是一个重要的研究领域．将晶体分类是很自然的，同一晶类的晶体具有许多相同的力学特性、热特性和电特性．晶类与数学的群论的关系并不是显而易见的．经过了数十年的发展，才终于在1890年左右得出了晶体学家费多洛夫（Fedorov，1853～1919）以及数学家熊夫利（Schonflies，1853～1928）和巴洛（Barlow，1845～1934）的结论：每一个晶类都与一个空间群联系在一起，在三维中恰恰有230个不同的空间群．因此，存在着230个不同的晶类．
详细描述这一极其漂亮和十分有用的发展要用太多的篇幅．不过，我们可以阐明在二维条件下解决同一数学问题的精神．图10－8（a）表示一个简单的正方形格子，我们想象它向四面无限延展．它具有许多对称：如果把图形向右移一个单位，或向上移三个单位，或向下移一个单位接着向左移两个单位等等，该格子依然保持不变．这些位移或它们的组合称为格子的对称元素．还有其它的对称元素：绕一个角旋转90°或180°等，绕任何正方形的中心旋转90°或180°等，这一切使得格子依然是不变的．这些元素也是对称元素．人们也能够相对于任一垂直线或任一水平线反演格子，或者相对于两条垂直线之间的任何中线反演格子．所有这些元素也都是对称元素．此外，如果人们相对于通过许多格子点的45°线反演格子，那么也能得到对称元素．这一切对称元素在一起构成一个群，即二维空间群．我们说，图10-8（a）属于这个空间群，反之亦然．
现在，让我们转向图10－8中的格子（b）．这个延展到无穷的格子也具有对称元素．事实上，格子（a）的所有不包括反演的对称元素也是格子（b）的对称元素，这一点容易通过检验来证实．任何反演不会使格子（b）保持不变，是因为反演总是从字母d翻转到字母b，而b在格子（b）中是找不到的．因此，反演不是格子（b）的对称元素．这样一来，我们证明了格子（b）的空间群不同于而且小于格子（a）的空间群．
图10-9展示了十七个不同的图样，其中每一个我们都想象延展到无穷．它们形成象浴室中的马赛克那样的图样．每一个图样都有它自己的空间群．第三排中心的图样与图10－8的格子（a）具有相同的空间群．它的右边的图样与图10-8的格子（b）具有相同的空间群．容易证实，属于这十七个图样的十七个不同的空间群都是不同的．这十七个空间群是二维空间中仅有的空间群，这点是可以证明的，但这个证明并非轻而易举．它是早先提到的定理——在三维中有230个空间群——的推广．（在历史上，首先解决的是三维的问题．推广到比较容易的二维问题是后来解决的，这显示了这些研究的物理实用起源．）
应用群论分析晶体学中的对称概念，是向物理学家提供抽象数学群概念的雅致和威力的第一个例证．另外的例子在20世纪接踵而至，它们深刻地影响了基本物理学发展的进程，我们紧接着将略述这一切．
