2L给我和我老婆

狭义相对论中有很多问题会被人津津乐道，有些甚至被命名为佯谬，比如双生子佯谬，车库佯谬等等。这些问题很难被普通人理解的原因在于，相对论的时空观与直觉不一样，并且繁杂的变换参考系和写算式会让人心肌梗塞。不过这些都不是问题，如果掌握了闵可夫斯基图(下文全部简称时空图)的应用，很多的狭义相对论代数问题都会变成简单的几何问题。
ps.时空图实际上指闵可夫斯基图外与彭罗斯-卡特图，前者应用于狭义相对论，后者应用于广义相对论，由于本文只考虑狭义相对论情况，因此直接称闵可夫斯基图为时空图。
首先说一下洛伦兹变换(以下说到的洛伦兹变换都是针对一维的也就是最常见的情况)：

先看一看时空图长什么样：

为什么竖轴要被写成ct呢？这是为了统一量纲(简单来说就是全部变成距离单位)。本质上，竖轴依然可以表示时间，而横轴依然可以表示空间。因为真空中c为一个常数，因此在几何上研究t的间隔与ct的间隔只是在单位上放大了c倍，而且这并不影响他的代数含义，但是这却为以后的一些说明起到了很好的辅助作用，后面就会感受到这个小变化的意义。
有人会问；“闵可夫斯基时空是四维的，为什么你只画一个平面？”首先来说，四维在各种意义上你是没法用这种坐标系明确表示的。其次，由于我们平时研究的洛伦兹变换都是在x轴上的变换，因此忽略掉y轴和z轴并不影响时空图对闵可夫斯基时空的普遍描述。
其次，一个很重要的问题就是，在x轴上的移动是任意的，但是ct轴上不是，毕竟时间这种东西还是很奇怪的。因此你可以避免在x轴上做出移动，但是却不能阻止在t轴上移动，时间流逝什么的嘛~~虽然两个轴一个表示空间一个表示时间，但是不要和高中学到的s-t图搞混。s-t图描述的是质点随时间运动的一种过程，每一点描述的是一个状态。而时空图中，x所表示的是一个精确无比的尺子，ct轴表示的是一个精确无比的手表，这是一种测量，每一点描述的是一个事件而非状态。
紧接着，我们来了解一下(0,0)这个时空位置的意义(图中的大红点)。

首先，一个事件可以由时间和位置来描述(了解过事件空间这个概念的人应该很容易理解)。举一个简单的但是不太贴切的例子：1968年4月4日18:01，马丁路德金在田纳西州孟菲斯的旅馆遇刺。其次，某一时空位置可能会被两个或多个事件占据，比如：1968年4月3日18:01，小明在马丁路德金所在的旅馆里吃烤肉。因此，对于不同的事件，我们只要给上标号加以区分就可以。
由此可知，(0,0)本质上就是一个时空点，位于时间原点与空间原点。
很明显，x轴(t=0)是用来区分过去，现在和未来的重要部分。位于x轴上半部分的点统称为未来的事件，位于x轴上的点是此时此刻的事件，而x轴下半部分的点描述的是过去的事件。
很重要的一点就是，时空图内每一点描述的一个事件！这对于能否明白时空图的含义起着决定性作用！
其次，我们来讨论以火箭飞行的例子来讨论以下时空图内各种曲线的含义(这需要一点想象力)：

绿线表示的是火箭在x=0原点静止不动而在时空图内画出的一条轨迹
蓝线表示的是火箭从x=0点匀速运动而画出的一条轨迹
粉线表示的是火箭从x=0点先加速后减速而画出的一条轨迹
红线表示的是火箭在某x’点静止不动而画出的一条轨迹
这样举例应该可以帮助理解吧

很明显要引出一个话题：时空图内曲线切线与x轴的夹角代表着什么？我们首先来定义如下：

这条过原点并与x轴夹角45°的红线所表示的正是ct=x，稍加观察即可明白这条线描述的是光的传播过程。这就是为什么我们选择竖轴为ct而不是t，这样一来，光的传播过程这一事件在时空图内就处于了一个很特殊的地位！
由此，我们定义曲线某点切线与x轴夹角α的含义：
，
由此可知，切线斜率与某一时空点的速度有直接的联系。这也很好的符合了v=c时，α=45°，v=0时，α=90°这一事实。由于相对论中有一个很明确的光速壁垒，也就是说物质运动或者说信息的传播速度是不允许超过光速的，因此，对于事件，α就有了一个很明确的范围：45°<α<90°
我们可以由此定义一个量：

很明确的是， 的情况描述的就是光在真空中的传播过程，而描述的就是低于光速或静止的运动，而则描述的就是超光速的运动。一次我们可以在时空图中画出这样一个光锥图(为什么叫做光锥，下面会给出一个更具体的图)来表示：

红线代表着发出和到达时空原点的延x轴正反两个方向传播光线形成的曲线，而黄色区域代表着普通事件(因为不能达到或超过光速)的所有可能路径，蓝色区域则代表着超过光速的事件(下面会给出更正规的说法)。也就是说，描述在原点从零时刻发生的所有事件的曲线都必须落在上半黄色区域内，而发生过并在零时刻达到原点的事件的曲线都必须落在下半黄色区域。那么蓝色区域表示什么呢？意味着位于时空原点的观察者不能及时观测到的事件，比如位于半人马座的某次超新星爆发，在它爆发的瞬间，位于时空原点的观察者是观测不到的，但是随着这个爆发产生的光线的传播，这个事件会进入到黄色区域内，也就是说现在可能观测不到，但是未来可能观测得到。

下面给出一个二维情况下的光锥图，这是一个很显然的锥形：

(图中E,F, P分别代表absoluteelsewhere, absolute future和absolutepast，概念将会在下面介绍)
在红线上发生的事件我们都叫做类光的，因为他很明显满足，也就是说和光线传播这个事件是相似的事件，而在这两条红线上的点与当前事件的事件间隔被理所当然的叫做类光间隔。
那么在黄色区域内发生的事件与原点时间的间隔我们应该怎么称呼呢？我们命名他们为类时间隔，为什么呢？一个比较直白的解释是，方程中，位于黄色区域内的曲线得到的ct项会明显大于x项，也就是说，这些曲线更靠近于时间轴。更重要的是，当我们位于原点时，位于上半黄色区域内的事件我们称作“能被我影响到的事件”，而位于下半黄色区域内的事件我们称作“能影响到我的事件”，之所以这么讲，是因为假如在上半黄色区域内有一时空点，我们想要影响他只需要放出一个不需要超过光速的信号，这些都是可能办到的(有兴趣的可以考虑一下下半区域的意义)。但是位于蓝色区域内的事件，假如我们想要影响他，则需要一个超过光速的信号，这是明显不可能的，因此我们可以说他与我们无关。
换而言之，我总能找到一个惯性坐标系，来使得：
1.位于原点的事先发生，位于蓝色区域某点的事后发生。
2.位于蓝色区域某点的事件先发生，位于原点的事后发生。
3.位于原点和蓝色区域某点的事件同时发生，而只是位于不同的位置而已。
ps.如果你没有记住时空图内任意一点代表的是一个事件，你可能会觉得这些结论很莫名其妙，因此你需要铭记的是，原点代表的是一个事件而不是一个位置。也就是说，位于蓝色区域的事件并不是影响不到这个位置或被这个位置影响，而是此时此刻在这个位置这个时间的事件不能影响到他或被他影响到。
由此我们可以引出蓝色区域内事件与原点事件的事件间隔的描述：他们是类空间隔。
由此我们可以对时空图内的区域进行命名：
1.上半黄色区域叫做absolutefuture(不知道怎么翻译，大概是“确定的未来”)，因为选定任意惯性坐标系都会认为，位于这一区域内的事件发生在你之后。位于这一区域内的事件都会跟你有因果关系。(对于下半区域只要选定为过去就可以(absolutepast)，与上半区域只是时间前后相反的描述)
2.蓝色区域叫做absoluteelsewhere，因为在这个区域内发生的事件和你没有任何因果联系，对于不同选定的惯性坐标系，会对蓝色区域和原点发生的事件有不同的判断。
值得注意的是，光锥本身具有洛伦兹不变性，因此事件间隔是类光，类时或类空的判断，与观察者选定的参考系没有关系。而对于类空间隔的事件，由于他们之间不具有因果性，因此也无法判断他们是否是同时的。

下面来介绍一个高大上的名词--------世界线
世界线的概念其实很直观，即一个物体在一段时间的运动状态下，在时空中画出的一条“路径”，如图：

这几条彩色线都可以叫做世界线。每条世界线都对应于某一特定的物体，反之，每个物体也都有一条世界线来对应。世界线描述的是一条“时空轨迹”而非我们平时理解的轨迹即空间轨迹，空间轨迹其实是世界线在x轴上的投影才对(稍加想象便不难理解)，如图：

图中的红线是世界线，而真正对应物体在空间内移动的距离则是世界线对x轴投影得到的绿线。
由于之前讲过的时间轴的特殊性质，我们可以这样说：世界线允许在横向上走来走去，但是在纵向的时间轴上只允许向着一个方向运动。(我们可以拿高中做过的沙摆画简谐运动图像来做类比。)

那么我们既然已经知道了这么多，应该如何进行应用呢？先不急，我们来研究狭义相对论中的一个经典现象------尺缩效应
我们先摆出尺子在K系中，两端的世界线：

图中红色的两条直线就是尺子两端在K系中静止的世界线。那么在K’系中尺子长度如何得到呢？其实很简单，拿着这两个红色的世界线在x’轴上截就行，如图：

这个粉色的就是在K系里，看到K’系内运动的尺子长度。但是很多人会问：“粉色的长度明明比绿色的长好吧，你这是坑爹呢？给错误结论。”
实际上问出这个问题的人大多忽略了一点：相对论时空是闵可夫斯基时空，而不是我们平常接触到的平面几何欧式空间，闵可夫斯基时空对的几何是非欧几何！但是我们的时空图看起来是平面几何的，因此如果断言这样可以直观的得出与尺缩效应相反的结论还为时过早。


正如我们刚才写到的，，这其实定义出了闵可夫斯基时空中距离的表达关系(其实你也可以用微分形式来定义线元，但是那样讲对于中学生太过于超纲，因此还是用这种写法来说明。而且在此不解释为什么这样定义，因为也会超纲。)，我们对此做一个很初等的变换就会得到 ，高中学过圆锥曲线的都知道这是一个双曲线方程(因此也可以戏称狭义相对论是双曲线上的游戏)。反之来看，平面几何中，我们的定义是 ，即勾股定理，做一个初等变换就会得到 ，也就是圆方程，因此我们可以画出这样的图来表示在闵可夫斯基时空和平面几何中，等距的不同表现(图中的蓝线在当前几何中等长)：



因此，我们将尺缩效应的图放在闵可夫斯基时空中看时，就会得到如下的图：

即，K系中尺子长度为AC，K’系中尺子长度AB’，在闵可夫斯基时空中，AB’与AB是等长的，因此AB’实际上比AC要短很多。如果我们稍加运算就会得到
，即最初的尺缩效应公式。

玩够了尺缩效应，我们再来玩一玩钟慢效应
我们在x=0与x=a点固定两个钟C1和C2 (C作为clock的简写)，让另一个动钟C’从x=0匀速运动到x=a点。在此引入同时面的概念，这其实和高中学函数学y=f(x)的y=1,y=2类似，只是我们要求t=t0，即要求在时间上做到等时而非函数值做到等值，很明显在K和K’的时空图下，等时线都是与x或x’轴平行，过t=t0或t’=t0的直线。
我们来表示一下动钟的时空图：

图中红线表示两个固定的钟在K系时空图内的世界线，而蓝线表示动钟C’在K系时空图内的世界线(C1与C2都在C’出发时同时调零并计时)。通过刚才讲到的闵可夫斯基时空的长度定义，可以很明显得到，蓝线在达到t=t0同时面时，其长度小于C2与C1达到同时面时的长度，这个长度代表着时间流逝的长度。因此得到了结论：在K系下，观察者观测到动钟C’走得更慢。
对于K’系下，观测者观察C2时间流逝的情况，在此不做说明，但是可以用时空图得到结论：K’系下，观察者看到C2走得更慢(可以自己画图验证，这涉及到了同时线与同时性的问题)。
事实上，值得注意的问题是，无论是尺缩效应还是钟慢效应，尺子都没有真正的缩短，时钟的走时速度也没有真正的变慢。而实际上只是因为，不同惯性系下对标准钟走时速度的比较方法不同，因此得到了不同的结果，因此讨论时钟走时比较的时候，必须要先明确约定在哪种方法哪种情况下比较，否则得到的结果不同也并不是令人惊讶的事情。

玩完了狭义相对论基本效应，我们来玩一玩双生子佯谬
双生子A和B，B坐着火箭向着远方飞去，A坐在家中等着B回来，当B回来时，他却发现A已经白发苍苍。这就是著名的双生子佯谬，直觉来看，一句“我勒个擦”是不能满足吐槽的欲望的，因为这不符合常理！没有用任何奇怪的技术，而紧紧靠着一个物理过程就可以达到化学和生物都很难达到的效果。
那么我们该如何用时空图看待这个问题呢？在此我们不写出定量的运算(否则会吓跑很多人)，而只通过上面学到的知识做定性分析，希望对此感兴趣的同学可以明白一些问题。
首先我们来画出A和B的世界线，在此认定A待在家中是静止于原点，B在t=0时从原点出发。我们先画一个普适的图(左图)：

这个图包含了B的加速，匀速和减速阶段，为了简化图，我们将变速阶段认为是瞬间完成变速的，即只考虑匀速阶段，来简化时空图(右图)。
那么这样的世界线，到底谁的最长呢？闵可夫斯基时空中有一个重要的性质(证明超纲，不写)，即：两点间类时测地线是该两点间类时线中最长的，而测地线，在欧式空间中度量他的长度，就是我们所要表述的符合现实情况的最短线。因此，甲的世界线长度要大于乙的世界线长度。由此可以很明确的得到一个结论：重逢时，乙比甲年轻。
如果我们借助钟慢效应对右图加以定量计算，就可以得到研究钟慢效应时的结果：，即甲的线长大于乙。

楼主加油

然后就是说一说狭义相对论佯谬的问题了，我们拿着双生子问题举例来解决一些常遇到的问题：
1.许多人认为相对论中，顾名思义有“一切都是相对的”，把这个思想带入双生子佯谬中，就会出现A比B年轻且B比A年轻的悖论。


实际上这种理解是一种根深蒂固的误解。
2.有人会问“钟慢效应”中，在不同参考系下，C’认为C2慢，C2认为C’慢，这是一种对称的存在，实际上并没有谁真的慢了。但是为什么双生子问题就不存在这种对称呢？
这是因为钟慢效应的观测中，两个参考系都做的是惯性运动，因此他们具有一定的等价性，双方处境平等。而双生子问题中，有一方做的不是测地运动(即不是惯性运动)，因此两方的参考性并不等价，因此出现这样看似荒谬的结论并没有问题。
3.有人认为“加速度是具有相对性的，A认为B加速，B也可以认为A在加速，为什么不具有等价性？”。
这是因为，闵可夫斯基时空中，加速度实际上不是我们平常接触到的三维加速度(或称3加速)，而是包含了时间的四维加速度(或称4加速)，因此在3加速上可能存在问到的等价性，到了4加速的时候就不一定存在了。惯性运动的概念是固定的：当且仅当世界线为测地线时(因此与参考系无关)。因此在考虑双生子问题时，我们提及的“加速”都暗指“4加速”。因为A在闵可夫斯基时空中不具有4加速，而这个观测与参考系无关，因此在闵可夫斯基时空的观点下，无论对于B，还是任意参考系，A都不具有4加速。

Finished，我看看多久能沉
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抢前排
~~啦啦啦~~这是深秋的小尾巴

楼上抢我沙发！

百度这排版，我也是醉了……