【子集】
一个集B的所有元素都属于另一个集A，则B可以叫做A的子集。
例如：B={1，2，3，4}，A={1，2，3，4，5}则B可以叫做A的子集，因为B的4个元素都属于A。
但A不能叫B的子集，因为A中有一个元素5不属于B。我们说“B包含于A内”或者“A包含B”
像上面这样的A，B两个集合，因为A中存在B中不存在的元素5，所以B叫做A的真子集。
我们可以说“B真包含于A内”或者“A真包含B”
一般的书上，
把 B包含于A内 写作B⊆A
这里之所以看起来像是有个等号=，就是因为一个集可以是自己的子集，因为它自己的元素都同时属于它自己，只不过按照子集定义，定义里面的A和B一样。
把 A包含B 写作A⊇B
把 B真包含于A内 写作B⊂A
把 A真包含B 写作A⊃B
但有些书上是不区分“真包含”和“包含”符号的，一律写成后两种，这属于习惯问题。
一旦提到“包含”，就说明 集 之间有某种 子集 关系，但你应该注意谁是子集，写在前面的集不见得都是子集，因为子集关系有“包含于”和“包含”两种。
最后应该注意∈（属于）和⊂（包含于）的意义是不同的，∈表示的是元素和集之间的关系，⊂表示的是 集 和 集 之间的关系。
元素和集是不同的，元素1不等于就是集{1}，虽然这个集{1}只有一个元素1。
因此，你看到⊇和⊂这类符号，就表明是子集关系，而∈代表的是元素属于集。
当然，如果一个元素a∈集A，那么也可以写成A∋a，∋表示“包括（含有）”。

〖符号整理〗（如果前面都看懂了，本楼可以跳过）
集 一般用大写英文字母标记，集内的元素用小写英文字母标记
空集（不含任何元素）符号ø
元素和集之间的关系：
元素属于集：a∈A
集包括（含有）元素：A∋a
集之间的子集关系：
子集 包含于 母集：B⊆A
母集 包含 子集：A⊇B
可以确定子集元素比母集少的时候：
子集 真包含于 母集：B⊂A
母集 真包含 子集：A⊃B

【相等集】
两个 集 所含元素完全相同，只是 集 的代号不同，那就算是相等的集，任何一个 集 和它自己总是相等的。
这个可以用子集定义表述为：对于任意两个集合A和B，如果A⊆B和B⊇A这两个关系式同时成立，也就是说，A中所有元素同时是B中所有元素，那么A=B。
关于子集，我们补充一个重要的结论：
空集 是任何集合的子集（但不一定是真子集，因为空集不是他自己的真子集）

【交集】
已知集A={1,2,3}和B={2,3,4}则由两个 集 都含有的所有元素2,3组成的 集C={2,3}叫做A和B的交集。
记作C=A∩B
∩就表示 交集运算，这个运算的规则是，把两个参与该运算的 集 的共有元素取出来形成一个新 集
如果两个 集 没有共有元素，那么A∩B=ø空集，因为取不到共有元素，则形成一个没有任何元素存在的新 集，即空集。
利用前面我们写过的元素和 集 的关系符号∈（表示元素 属于 集），可以把交集运算定义为：
A∩B=C={x | x∈A且x∈B}即：即属于A又属于B的所有元素x组成交集C

【并集】
已知集A={1,2,3}和B={2,3,4}
则由两个 集 各自所含有的全部元素1,2,3,4组成的 集C={1,2,3,4}叫做A和B的交集。
记作C=A∪B
∪就表示 并集运算，这个运算的规则是，把两个参与该运算的 集 的所有元素取出来形成一个新 集
和交集的区别是，取出的元素不需要是共有的，只要某个元素属于其中一个 集，就算数。
利用前面我们写过的元素和 集 的关系符号∈（表示元素 属于 集），可以把并集运算定义为：
A∪B=C={x | x∈A或x∈B}
即：所有属于A的元素x，和所有属于B的元素x，都被取出来，组成并集C，当然，重复的元素只算作一个。
有些书上也习惯把{x | x的特点}写成{x : x的特点}，这里 | 和 : 的作用相同，都是分隔号，用来分隔 元素代号 和 元素特点

【差集】
把 集A中 那些同时属于 集B的元素都去掉，剩下的 集A记作C就是A对B的差集
记作C=A-B
例如：A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}则C=A-B={1,2}
这里3,4同时属于B，所以被差集运算去掉了，剩下的{1,2}记作C
用前面我们写过的元素和 集 的关系符号∈（表示元素 属于 集），可以把交集运算定义为：
A-B={x | x∈A且x!∈B}
!∈表示“不属于”。

集 运算性质：
交换律
A∩B = B∩A
A∪B = B∪A
结合律
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
(A∪B)∪C = A∪(B∪C)
分配律
(A∩B)∪C = C∪(A∩B) = (A∪C)∩(B∪C)
(A∪B)∩C = C∩(A∪B) = (A∩C)∪(B∩C)
(A－B)∩C = C∩(A－B) = (A∩C)－(B∩C)
幂等律
A∪A = A
A∩A = A
幺元（即类似数运算的1）
A∪ø = ø∪A = A（ø是∪运算的幺元）
A－ø = A（ø是－运算的右幺元）
零元（即类似数运算0）
A∩ø = ø∩A = ø（ø是∩运算的零元）
ø－A = ø（ø是－运算的左零元）
德·摩根律
C－(A∪B) = (C－A)∩(C－B)
C－(A∩B) = (C－A)∪(C－B)
吸收律
A∪(A∩B) = A
A∩(A∪B) = A

【笛卡尔积】
我们建立一种数学上的对象，即由2个变量x,y按照先x后y的顺序组成一个对(x,y)，就叫做有序数对，这种数对就是我们所说的新对象（新事物）。
那么，按照x和y的不同取值，例如x分别取1,2，y分别取3,4，就可以形成4个数对(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，我们把每个数对看作一个对象，则它们可以形成一个 集，写作：
{(x,y) | x∈{1,2}且y∈{3,4}} = {(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}
这里x∈{1,2}且y∈{3,4}表示：x属于 集{1,2}，且 y属于 集{3,4}，就是用 集 的形式给出了x,y的取值范围。
我们说，如果给定两个 集A和B，那么 集C如果满足下列条件，C就叫做A和B的笛卡儿积：
C={(x,y) | x∈A且y∈B}=A×B
例如我们上面例子里面A={1,2}，B={3,4}，那么
A×B = C
={(x,y) | x∈A且y∈B}
={(x,y) | x∈{1,2}且y∈{3,4}}
={(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}
从这个例子看出，两个 数集 作 笛卡儿积，结果是一个 由 有序数对 作为元素的新 集。

【函数（用笛卡尔积定义）】
如果有两个已知 数集A和B，根据前面知识，他们的笛卡尔积就是
A×B = C ={(x,y) | x∈A且y∈B}（这是笛卡尔积的定义，不多说）
前面我们说过，这里 C集 的元素都是有序数对 (x,y)这样的形式，
例如A={-1,0,1}，B={0,1}，就得到
A×B = C
={(x,y) | x∈A且y∈B}
={(x,y) | x∈{-1,0,1}且y∈{0,1}}
={(-1,0)，(-1,1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}
那么，如果我们找到一个 C的子集F={(-1,1)，(0,0)，(1,1)}（显然这里F的(-1,1)，(0,0)，(1,1)三个元素都属于C，所以F 是C的子集）能够满足“从A中任取一个x值，在F中对应于这个x值的数对(x,y)中，有且只有一种情况的y值存在”。
例如：F={(-1,1)，(0,0)，(1,1)}中，
x=-1时，数对(x,y)=(-1,y)中的y取值只能是1这一种情况；
x=0时，数对(x,y)=(0,y)中的y取值只能是0这一种情况；
x=1时，数对(x,y)=(1,y)中的y取值只能是1这一种情况；
因为F这个集的元素是数对，而且F本身约定了自身只含有特定的这些数对，则每个数对都可以看作是x和y的一种联系形式，如果这些形式最终都能满足“一个或者多个x值只对应一个y值，每个x值不能对应多于或少于1个的y值”，那就和我们前面说的“对应”关系的要求完全一样了，那么就可以把这些数对看作是对应关系。
如果我们能找到一个法则，那么就能看得更清晰：
例如我们可以把上面的F看作是和y=F(x)=x²这个函数等效的一种 对应关系：
x=-1时，数对(x,y)=(-1,y)中的y取值只能是1这一种情况；
x=0时，数对(x,y)=(0,y)中的y取值只能是0这一种情况；
x=1时，数对(x,y)=(1,y)中的y取值只能是1这一种情况；
你看，是不是完全一样？！
因此，函数关系 可以看作是两个数集A，B的笛卡尔积的子集，只要这个子集内的所有元素（数对）反映的特征都能够等价于 某一对应关系。

【逆映射】
你可以将 映射 理解为数学上 对应 这个词的学名。逆映射可以看作是反向对应（法则），例如我们有一个函数y=f(x)是从集X（其中元素代号是x）出发到集Y（其中元素代号是y）的正向对应法则f，那么另一个x=g(y)是从集Y出发到集X的对应法则g，就是个反向对应，这就可以称为逆映射。
但映射（对应）和函数还是有区别的。
用 对应 所定义的函数概念（15楼）中，我们知道函数就是一种从集X中的元素到集Y中的元素的对应关系，它基本上是这样的：
任何一个集X中的元素x通过这种对应关系，都能在集Y中找到唯一一个元素y与x对应，例如我可以找到
x1对应于y1
x2对应于y2
x3也对应于y2
x4对应于y3
。。。。等等
这里要求 函数 必须满足四点（第四点有些情况下不强制要求），而不满足这四点的其他类型的对应关系都不能叫做函数：
1--【满映射】
集X中的所有元素x，都一定能在集Y中对应找到一个元素y，不存在“某个x对应到0个y”的情况，因为我们定义中要求“任何一个集X中的元素x通过这种对应法则f，都能在集Y中找到唯一一个元素y与x对应”，请注意“任何”两个字。我们说这样的对应法则f（或映射）是 满 的。
2--【单映射（多对一或者一对一映射）】
集X中的元素x在集Y中最多只能对应一个元素y，不允许出现x1可以对应y1和y2这类情况，但允许x2和x3都对应同一个y2。
3--【非全单逆映射】
既然集X中元素x能对应到集Y中的y，那么反过来，集Y中元素y反过来也可以按照另一对应发则g对应到集X中的元素x，只不过这样出现的对应法则g就是与对应法则f反向的了，一般把这种反向的对应g叫做 逆映射。
那么，我们说，正向对应（正映射）f一定必须是“一个或者多个发出对应的元素x 对应 唯一的接受对应的元素y”，也就是所谓允许“一对一或者多对一”。
但是 逆映射g 不要求“一个发出反向对应的元素y 反向对应于 唯一的接受反向对应的元素x”，而是允许“一个发出反向对应的元素y 反向对应于 一个或多个的接受反向对应的元素x”。
所以我们说 逆映射 并不需要全是 单映射（一对一映射），而可以是一对一或者一对多映射。
4--【满逆映射】
也就是说，集Y中所有元素y通过 逆映射（反向对应）g 都可以对应得到集X中某一个或者多个的元素x。不存在“某一个y通过这个 反向对应 找不到对应的x”的情况。
我们说这样的反向对应（或 逆映射）g是 满 的。

例如，如果两个集X，Y之间，X的某一个元素x通过对应法则f在Y中找不到对应元素，也就是X到Y建立不了 满 的对应关系，那么 对应法则f 就不是一个 函数。
例如，如果一个对应（映射）是 一对多 或者 多对多 的，那就不能把这个对应叫做 函数。函数要求必须是 一对一 或者 多对一。一个或多个发出对应的元素x，对应的目标必须只有一个y，这才能叫函数。
例如，如果两个集X，Y之间，X的没有任何元素能通过对应法则f对应得到Y中某个元素y，也就是这个特殊的y通过与f反向的对应法则g，在集X中找不到任何对应元素，那么就是说反向对应法则g（逆映射）不是 满 的，那么正向对应法则f也不能算是 函数。

【反函数】
我们已经知道，某个 函数y=f(x)（函数可以看作一种对应法则）的 反向对应x=g(y)（逆映射）可能并不是一对一或者多对一的，反而很可能是一对多的，那么就是说，一个函数y=f(x)的 逆映射（反向对应）x=g(y)很可能不算是另一个 函数（函数必需是一种一对一或者多对一的对应关系或法则）。
但是，如果我们已知某个函数y=f(x) 是个一对一类型的对应（也就是 单映射），那么这个函数y=f(x) 的逆映射x=g(y) 就肯定也是个 一对一类型的对应（单映射）。
如果是这样的话，这个函数y=f(x)的 逆映射x=g(y) 也同样算是另一个函数，则我们把x=g(y)叫做y=f(x)的反函数。
函数y=f(x)的反函数x=g(y)通常写作x=f‾¹(y)。

如果一个函数y=f(x)具有它的反函数x=f‾¹(y)，那么y=f(x)和x=f‾¹(y)一定都是 满映射（所有x到y的统一规则f下的对应都能建立，而且所有y到x的统一规则f‾¹下的反向对应也都能建立），而且一定都是 单映射（一对一类型的对应）。
既是 满映射 同时又是 单映射 的函数，我们称之为 双映射。双映射类型的对应关系一定是具有反函数的函数关系。

我们已经知道，互为反函数的的两个函数y=f(x)和x=f‾¹(y)，一定满足：
集X中每一个x都通过y=f(x)对应于集Y中的唯一的一个y，而集y中每一个x都通过x=f‾¹(y)对应于集X中的唯一的一个x，所以这两个函数同时都是满映射，也同时都是单映射。
那么，这里的X，Y集就很特殊了。一般来说，能够让两个函数y=f(x)和x=f‾¹(y)互为反函数的x，y取值的集X和Y，有以下的专门名称：
X叫做函数y=f(x)的定义域（x为自变量），X叫做x=f‾¹(y)的值域（x为因变量）。
Y叫做函数y=f(x)的值域（y为因变量），Y叫做x=f‾¹(y)的定义域（y为自变量）。
我们知道，从 集X 和 集Y 中各取出一个元素x和y组成有序数对(x,y)（顺序是x在y左侧），所有这些数对形成的 集 就是 集X 和 集Y 的笛卡尔积C=X×Y。
而且我们通过这个概念重新表述了函数：
设一个 集F 是 笛卡尔积X×Y=C 的子集（显然集F中所有元素同时都是C的元素，C中有可能有些元素不是F的元素，所以F才算是C的子集，而且既然笛卡尔积重的元素都是 数对，所以F中的元素也都是数对），这个F中的各个数对刚好满足“一个或者多个x值只对应一个y值，每个x值不能对应多于或少于1个的y值”，于是我们说这个 集F就是函数y=f(x)的同义形式：
F={(x,y)| 对x∈X,∃唯一y=f(x)∈Y}⊆C=X×Y
用文字表述就是：F是X和Y的笛卡尔积C的一个子集（⊆包含于），并满足“对于F中的数对元素（x,y）来说，其x都属于（∈）X，并对每个x，都存在（∃）唯一的y=f(x)，且这个y属于集Y”。