重点是知乎同名问题回答..
andrew shen：

有关错位相加
至于视频之后的计算几乎是毫无道理的。条件收敛的级数不能随便改变求和顺序，更不必谈原本就发散的级数。所以错位相加是毫无道理的。可以举一个例子。考虑级数，，这两个级数显然都是发散的。但是如果我们将其错位相加，如果错一位得到的结果便是（或，取决于你错位的方法），错两位便是（或）。不同的错位方法得到的结果不同，错位相加自然不是一个合理的计算方法。

总结
我认为这个问题的来源于对数学中定义的滥用，以及人们对定义的误解。
数学家是这个世界上最严谨的一批人，他们谈论什么都有据可循。事实上，数列极限本身就是一个有严格定义的概念（可见答案最开始处的定义）。所有学过微积分的同学不妨问自己中这个等号的意义是什么，和中的等号是否意义相同？一个严肃的数学家绝对不会轻易写下“”，而是可能会告诉你这是在Cesaro和意义下的结果或是解析延拓意义下的结果，这里等号的意义已不是中的等号或是等号的意义。
至于在解析延拓的意义下这个式子为何会有物理上的效应，这是另外一个问题。粗略地说是因为解析延拓可以反映求和的某些渐进行为。而这背后蕴含的则是物理中重整化的思想。

以上内容均来自 【http://www.zhihu.com/question/22506418】
看吧里那么冷清就转了......
话说答主的专栏也不错的说，不过只有前几篇能看得懂，什么量纲分析就捉急了..【http://www.zhihu.com/people/andrew-shen-29/posts】