也就是说，我们真正关心的是两类特殊的无穷集合，一类称为可数无穷集，一类称为连续统。所有的可数无穷集彼此等势，所有的连续统彼此等势，但是任何可数无穷集和连续统之间不等势，后者总是更大一些……真绕嘴阿。
下面是一些可数无穷集和连续统的例子：
可数无穷集：
自然数集，整数集，有理数集。（基本上，如果你在平面上或者直线上随手点无穷个点，并且这些点彼此都不挨着，那么它们的总数就是可数无穷的。但是也存在一些不这么简单的可数无穷集。）
连续统：
实数集，直线上点的个数，平面上点的个数，一个正方形里点的个数，或者简而言之，一切几何对象里的点的个数都是连续统。（这里一个常常被人提到的推论就是直线上的点和平面上的点一样多，——都是连续统那么多。其实证明很简单，但是一言难尽，请查书去。）
好了，现在我们可以讨论这两个名字是怎么来的了。请注意，所有的可数无穷集都是可以和正整数建立起一一对应的，这是什么意思呢？这意味着，我们可以把一个可数无穷集中的每个元素都对应到一个正整数，这相当于给他们编了号码，从而我们可以去数它们（这就是可数这个词的来历）。也就是说，我们可以按照1号、2号、3号这么一直数下去，虽然总数是无穷的，但是只要我们在理论上一直数完所有的自然数，我们就能真正数遍这个集合的所有元素（至少在想像里是这样）。
而连续统集合却不是这样。一个直线上的点是连续统，这就是说，无论怎么巧妙的给这些点编号，我们都是不可能给所有的点都编上号码然后一个一个的数下去把它们都数完的。它们是“不可数”的。
有人会说，这不是自欺欺人么？反正都是无穷个，反正事实上总也不可能数得完，那么在理论上区分“想像中数得完”和“想像中也数不完”有什么实际意义呢？
有的。正是这一点微妙的差别，使得有些事情我们能够对可数集去做却不能对连续统集合去做，也正是这一点差别，促成了从没有大小的点到有大小的直线和平面之间的巨大的飞跃。

（二）测度的建立
让我们暂时放下关于无穷的那些讨论，回到主题：我们通常所说的长度面积体积这些词，究竟是什么意思？

为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我们只考虑“长度” 这个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个“长度” 存在。如果能做到这一点，那么类似的，面积和体积之类的高维词汇也可以类似的得以理解。
我们把目前要回答的问题列在下面：
什么是长度？
是不是直线上任何一部分都可以有长度？
直线上的一个线段当然应该有长度，直线上的两段分离的线段也有总长度，单点有没有长度呢？随便从直线上挖出一些点来得到的也许是虚虚实实的一个“虚线段”有没有长度？是不是我们从直线上任意取出一个子集合(线段啦单点啦都可以看成是直线的特殊的子集合)，都可以定义它的长度？——这件事无论在数学上还是应用上都是重要的，如果能够给直线的任何子集定义长度，那就太方便了。
如果上面这件事是可以的话，那么随便给一个直线上的点集，长度怎么计算？
等等等等。
事实上，在数学中这些问题都能够得到解答，但是首先让我们把上面问题里的“长度” 这个词都换成更准确的一个术语：测度(measure)。之所以要采用这么一个新造的词，首先是因为“长度”有时候有局限性。一个线段的长度好理解，一个复杂的点集，说长度就会显得很奇怪；不仅如此，在二维情形下我们还要研究面积，三维还要研究体积，四维还要研究不知道什么积……为了省去发明一个又一个新词的苦恼，我们把这些东西统一叫做二维测度，三维测度……一了百了。
好吧，那么，我们来定义(一维)测度。
——不，不要误会，我并不是要在此刻写出一大段难懂的话，告诉大家“测度就是什么什么什么什么。” 或者更谦逊一点，说“我认为，测度就是什么什么什么什么。” ——也许这是一般人看来自然不过的工作方式，但不是数学家的。
这是因为，我们现在要定义的是某种特别基础的概念。也许在定义某些很复杂的高层概念的时候这种方式很自然，可是概念越基础，这种方式带来的问题就越大。关于测度这种层次的概念几乎必然伴随着用语言难于精确描述的种种晦涩的思考，一旦一个人试图把他对这个词的理解宣诸笔墨，那么无论他多么小心翼翼的整理他的陈述，在别人看起来他的定义都必然漏洞百出，有无数可以商榷的地方。——而因为这个概念在整个逻辑体系中的位置过于基础，任何商榷又都必然说起来云山雾罩，像哲学家们通常进行的关于基础概念的争论一样令人头昏脑胀。如果数学家们要开会用这种方法给出测度的定义，那一百个数学家一定会提出一百零一种定义来，最终的结果是什么有效的结论也得不到。
数学家们采用的是完全不同的方式：我们先不要贸然去说“什么是测度”，而是先问问自己，当我们想发明一个新的定义的时候，我们在这个定义的背后是想达到怎样一种目的？换句话说，我们想让这个定义实现哪些事情？
首先，测度——不管它具体怎么定义，其作用的对象按照我们的期望是直线上的任意一个子集，而最后得到的测度应该是一个具体的数字。也就是说，所谓定义测度，就是我们需要找到一种方法，使得随便拿来直线上的一个子集，我们都能够最终得到一个数字作为其“长度”。 （在这里我们把无穷大也看成是数字，例如整根直线的测度就是无穷大。）
然后，这种方法总要满足一些必要的约束。——不能随便给一个线段标上一个数字，就说它是测度了。这些约束有哪些呢？
第一，空集（注意是说空集而不是说单点集）本身也是直线的子集，也应该有个测度。我们应当保证空集的测度是零。这是很显然的，否则这个测度就毫无实际意义了。
第二，既然每个子集都有一个测度，那么把两个彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也应该有个测度，并且这个测度应该等于两者之和。——这也是很直观的要求。两个线段如果不相交，那么他们的总长度应该等于两者长度之和。更高维的情况也一样，两个二维图形如果不相交，那么总面积应当等于各自面积之和，诸如此类。
更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也对，五个也对，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。——注意，是可数无穷个！
(为什么呢？直接说任意无穷个不好么？干嘛只限定是可数无穷个？)
数学家是很谨慎的。上面这个性质被称为可数无穷个集合的测度的“可加性” ，承认可数无穷个集合有可加性是不得不为之，因为在实际应用中我们确实常常会遇到对可数无穷个子集求总测度的问题，可是任意无穷个子集的测度也能相加，这个陈述就太强大了，我们一时还说不好测度有没有这么强的性质，还是先只承认可加性对可数无穷个集合成立好了。
第三……
“且慢” ，数学家说，“先别找太多的约束，看看这两条约束本身能够在多大程度上给出测度的定义好了。”
(什么嘛，这两条约束根本什么都没说。第一条是废话，第二条也是很显然的性质，要是只满足这两条就可以叫做测度，那测度的定义也太宽松了，我随随便便就能构造出好多种不同的测度出来。)
也许是这样，可是到时候再添上新的约束也不迟。这也是数学家们常用的办法，先定义尽量宽松的概念，然后再一点一点的附加条件，得到更细致和特殊的子概念。就目前的情况来说，看起来这两条约束确实是宽松了点……
不幸的是——也许出乎你的意料——这两条约束不是太宽松，而是已经太严苛了。我们可以证明，给直线的每个子集都标上数字作为测度，保证空集的测度是零，并且测度满足可数无穷个集合的可加性，这件事情在逻辑上并无内在的矛盾，但是这样的测度必然具有一些数学上非常古怪的性质。也就是说，这样的测度根本不能用来作为对长度的定义！
（关于这件事的证明其实很简单，但是需要一点数学基础才能读懂，详情可以参考文献[1]。关于什么是“古怪的性质”，后面还会提及。）
在这种情形下，我们只好退而求其次，减少对测度这个概念的期望。——可是前面提到的两条性质都再基本不过了，如果连它们都不能满足，我们定义出来测度又有什么用呢？——于是数学家们另辟蹊径，不是放松这两条限制，而是放松它们的适用范围：我们不去强求测度能对直线的每个子集都有定义，也就是说，我们只挑出直线的一些子集来定义测度，看看能不能避免逻辑上的困境。
需要挑出那些子集呢？很显然，我们希望对于平时人们能接触到的各种常见的子集都能定义测度，所以单点集是需要的，线段也是需要的，而若干线段的交集或并集（这里若干还是指至多可数个）也是需要的，对它们的交集或并集再作交集或者并集也是需要的……
在数学中，我们把所有线段反复做交集或并集生成的这一大类集合称为可测集（当然它有更严格的定义，不过大概就是这个意思）。不要小看这种生成方式，事实上，你能想象得到的直线的子集其实都是可测集，——要找出一个非可测集的集合反倒是有点困难的事情。虽然可测集不包括直线的全体子集，但是如果我们能对所有可测集定义合理的测度，那这个测度也足以应付人们的需要了。

（三）长度的意义

回到我们的主题：“长度”的意义上来。
先总结一下我们已经知道了的事情：
所谓（一维）测度，就是要给直线上的每个子集标上一个数字，使得它们满足下面两条性质：
空集对应的数字（空集的测度）是零。
若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。
这样的测度存在很多种，而且几乎全都行为古怪。为了更好的符合“长度”的概念，我们添上第三条要求：
如果把直线看作实数轴，那么从数轴上a点到b点的线段（这是直线的一个子集）对应的测度应当等于b-a。
满足这三条性质的对直线上的每个子集定义的测度是不存在的。但是，如果放松要求，不对直线的每个子集定义而只对直线的可测子集定义测度，那么这样的测度存在并且唯一，数学上称为勒贝格测度。靠一系列定理的帮助，对直线的任何一个可测集（一般来说你能想象到的任何子集都是可测集），都有一套严密定义的公式能够把这个测度的具体大小算出来。
于是，数学家郑重宣布：
勒贝格测度就是人们通常所说的“长度”的严密定义，而且是唯一正确的定义。
“什么？”我们的哲学家朋友们一定要跳起来了。“你上面绕来绕去的说了一大堆让人听不懂的话也就罢了，你怎么能说这是关于长度唯一正确的定义呢？这顶多是你们数学家对这个词的理解而已，我最讨厌你们学理科的用这种自以为掌握绝对真理的口气说话了！”
“是么？”数学家回答道，“难道长度这个词还可能有别的理解不成？”
“当然可以。”哲学家愤愤不平地说。“亚里士多德说过……，莱布尼茨说过……，康德说过……，xxx同志说过……，总之，人类对长度这个词的理解是经历过漫长的争论的，而且必然还会一直争论下去。每个人都有权提出自己的观点啊。”
“我不管他们怎么说，”数学家说，“我只问你心里有没有对长度的定义？”
“当然有了。”哲学家骄傲地说，“我认为，长度就是……”
“慢着，”数学家迫不及待的打断他，“我不想听你的哲学论文，我只问你，在你对长度的定义里，空集有没有长度？有的话，是不是零？”
“是……的。”其实哲学家暂时没想到空集这么细节的事情，但是他觉得反正这个无关紧要吧，所以先首肯了。
“那么，按照你定义的长度，数轴上从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度，是不是等于6.98-2.76=4.22？”
“这个废话，不然还叫什么长度啊。”哲学家有点不耐烦了。
“还有，如果我把可数无穷个有长度的集合放在一起，总长度等不等于各自的长度之和？”
“这个……”哲学家对于“可数无穷”这个词有点拿不准，“反正两个线段的总长度是等于它们各自的长度之和的，至于无穷个……好吧就算是吧，那又怎样？”
“那就结了。”数学家慢条斯理地说。“我根本不关心你关于长度的哲学观念是怎么建立起来的，我只想说，如果你的观念没有内在的逻辑矛盾，那它就一定和我们数学家所说的勒贝格测度是一回事。这就是我为什么说勒贝格测度是唯一正确的长度的定义。——你当然可以有你自己的定义，只不过它一定正好就是勒贝格测度！”
“什么和什么呀！”哲学家有点懵了。“可是你什么也没有定义啊，你只是自己号称证明了一个所谓勒贝格测度的存在，可是我们关心的是为什么！我们哲学家要问的是为什么从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度等于4.22，你却把它写在了定义里，这并没有回答问题本身啊。”
“唉，”轮到数学家不耐烦了。“从2.76这个点到6.98这个点的线段的‘长度’当然也可以不等于4.22，只要你不取勒贝格测度而换一种测度就成了，——问题是人们不喜欢那样啊。不是为什么它的长度等于4.22，而是你首先要求了4.22这一属性，然后把它叫做长度。为什么只有在春天桃花才会开？因为是你把桃花会开的那个季节叫做春天的！”
哲学家：“……”
数学家：“……”
嗯，我不知道这段对话是把问题讲清楚了还是搅得更混乱了。当然这里面还有许许多多的细节需要阐明，下面让我们来更仔细的讨论一下吧。

这正是前面所有那些所谓哲学悖论的根源：当人们想当然的说着“把无穷个点的测度加在一起”的时候，他们以为他们是在说一件自然而然的事情，可是事实上，除非这无穷个点是可数个，否则这里的加法根本无法进行。不幸的是，任何线段都偏偏是由不可数个点构成的（它们是连续统）。
为什么线段是由点构成的，而线段的测度却不等于组成它的那些点的测度之和？因为“组成它的那些点的测度之和”这个短语根本没有意义，所以两者也不必相等。
这个回答也许有些出人意料，可是事情就是如此。很多问题之所以令人迷惑，不是因为它们真的是什么悖论，而只是因为问题本身没有被恰当的叙述。人们常常自以为是的使用很多词汇却罔顾自己是不是了解它们的真实含义，譬如说“求和”。人们随心所欲地说“把若干个数加在一起”却忘了其实不可能真的把它们“一下子”加在一起，加法是个递归过程，这就决定了如果要加的东西的个数太多（不可数那么多），它们就加不起来了。
（不得不补充一点——一个很扫兴的补充——在数学中，某些场合下我们真的必须要对不可数个数定义总和……数学家总是这样，为了各种极端情况而拓展自己的定义。在这些情况下，这种不可数个数的和也是能定义出来的。但是，这件事并不会对上面那些论述造成削弱：这里的特殊意义上的“和”是为了应付特别的目的而定义的，它和我们平时所说的求和已经不是一个意思了。）
也许哲学家还会追问：既然线段的测度不是组成它的那些点的测度之和，那么这个测度是从哪里来的呢？
它们不是哪里来的……它们是线段自己所固有的。这就是为什么我们在定义长度的时候非要加上第三条公理的原因：我们必须在定义里就写明线段的测度，否则就没有办法建立起直线的所有可测子集的测度的架构。事实上，既然点的长度是零，根据可数可加性我们很容易推出一切可数集的长度也都是零，所以在某种意义上说来，“长度” 是本质上只属于连续统的一种性质。换句话说，只有进入了连续统的范畴，不为零的长度才可能出现。这就是为什么我们不能从单点集出发定义长度的原因。
那么，我们现在可以回答那个著名的“飞矢不动”的芝诺悖论了：一支飞驰的箭，在每一个确定的时刻都静止在一个确定的位置上，为什么经过一段时间后会移动一段距离？
答案是：因为任何一段时间（不管多么短暂）都是一个连续统，包含了不可数个时刻，所以箭在每一时刻的静止根本不需要对一整段时间之内的移动负责。——后者并不是前者的相加，而前者也根本不可能相加。
因为连续统不可数，所以我们能够在每时每刻里都静止的存在，同时又能在一段时间内自由运动。这也许是大自然的巧妙安排吧。

2. 无穷大。
有趣的是，和无穷小如此相似的一个词——无穷大——却在今天的数学语言中占有与之判若云泥的一个地位：人们谈论它，研究它，还给它以专门的记号（倒 8字）。造成这一多少有点奇特的事实的关键在于，和通常人们的误解不同，无穷大其实并不是无穷小这个词在概念上的对偶（尽管乍一看似乎如此）。事实上，就某种意义而言，说它是零这个词的对偶也许更为恰当一些。
让我们回顾一下这个概念在数学中的递进过程：我们都知道存在这样的数列（例如自然数列），可以一直变得越来越大，直到比任何给定的数都更大，这种时候，我们把这样的数列称为“趋于无穷大”或者直接就简称它是无穷大。——请注意，在这里无穷大仅仅是作为人们对一个数列或者变量的极限的叫法而存在的，我们并没有承认它是一个数或者一个确定的对象，而只是一个形容词而已。每个具体的数都不可能真的比别的数都大，尽管一系列数可以没有止境地变得越来越大，这实质上就是亚里士多德所强调的“潜无穷”。
如果事情只是到此为止，那一切相安无事，无穷大这个词今天的地位也只不过和无穷小一样仅仅作为对一种极限的描述而存在罢了。可是这里有某种微妙的差别：正如前面提到过的那样，“无穷小”不是别的，只是一个变量极限为零而已，所以我们总可以认为无穷小只是一种说法，在必要的时候可以用“趋于零”这样一个替代说法来换掉它。可是“无穷大”是什么极限呢？它并不是趋于任何特定数字的极限，而是“趋于无穷大的极限”，你看，这个词轻易回避不掉。
于是人们只好被迫不断的提及它，要是非要替换成别的说法，就要花好多倍唇舌才成。比如，前面说过直线本身也是直线的可测子集，那么整条直线的测度是多少？当然我们可以佶屈赘牙地说“直线可测，但是它的测度并不是一个确定的数，而只是比任何给定的实数都要大。”——这也太麻烦了一点。为什么不省点事直接说“直线的测度等于无穷大”呢？
这样人们就开始不断的把无穷大当一个名词来使用，假装它好像也是一个数一样，这就是所谓的“实无穷”。哲学家和数学家中比较喜欢哲学争辩的那一部分人对此有许多争论（直觉主义学派等等），但是让我们忽略掉它们，先看看在今天数学家是怎么使用这个词的吧。
首先，无穷大不是一个实数，在实数集中不存在任何数比其他所有数更大，这是确定无疑的事情。
其次，在许多场合下，我们确实可以把无穷大当作一个名词来使用，既方便又不造成困扰。例如前面提及的在测度论里我们说一个可测集的测度是一个“数 ”，这里的“数”既包括非负实数也包括无穷大。事实上，在有些数学书里索性把实数加上无穷大这样一个集合称为“增广实数集”。我们甚至可以对无穷大定义运算（在事先做好严格约定的前提下），这对于很多理论的叙述带来了极大的方便。如果说得更技术化一点，在很多数学分支（例如仿射几何）里我们还能像让每个实数对应于直线上的一个点这样一个几何对象一样，让无穷大这样一个特殊的对象也对应于一个特殊的几何对象（所谓的“无穷远点”），并且让所有这些几何对象平等地参与到几何学中来。只要仔细做好事先的公理准备，这样子做并不会引起任何逻辑问题。
——也许有人会觉得奇怪，怎么数学家可以如此随便，想给实数集添上什么就添上什么？事实上，数学家就是有这样的权利，因为说到底，数学不是研究真实自然界的学问，而只是研究人造概念的学问。任何人造概念，只要在逻辑上被严格的描述出来又不造成内在的逻辑不自洽，都可以被认为是“存在”的。复数的引进就是一个很好的例子。
——那前面怎么又说“无穷小不存在”？就算无穷小本身不能是一个实数，为什么不能把它添在实数集之外也弄一个“增广实数集”出来研究？
事实上，这样做是可以的，而且事实上也确实有好事者这样做过。问题在于它毫无意义。前面说了，任何人都有权利自己定义出一些什么东西来作为数学对象来研究，这是对的，只要他在逻辑上足够细心就行。可是这句话还有一个常常被人忽视的反面：数学尽管不是直接研究自然界的学问，可是它毕竟是在人们研究自然界的过程中形成而又有助于人们对自然界的理解的。如果一个数学概念纯粹只是自说自话的产物，那无论它多么自洽，也没有人会去关心它。复数这一人为的构造之所以被所有人承认是因为它巨大的威力。而无穷小——正如前面所指出的——是一个毫无必要引入的概念，添上它只会自找麻烦。无穷小和无穷大的命运之所以不同，关键正在于此。
回到无穷大这个词上来。这一系列文章的一开头还说过无穷大可以分成“可数”和“不可数”的无穷大，那又是怎么回事？
这是一个更常见的误解，这其实是两个不同的词：作为一个极限的（潜）无穷和由此引申而来的作为一个数学对象的（实）无穷是一码事，作为一个集合的势的可数无穷或者不可数无穷是另一码事，不同于前者的“无穷大”，后者其实应该被称为“无穷多”才对，只是人们通常混为一谈。事实上，当我们说“一个集合有无穷多个元素”的时候，我们有必要指出这个集合是不是可数，而当我们说“一条直线的测度是无穷大”的时候，却完全谈不上什么可数不可数。——在数学书中通过观察上下文，分辨这两者并不是很难的事情，可是如果把“无穷”作为一个哲学命题来研究的时候，这种区分却是必须的。——不幸的是，就我阅读所及，很多时候人们都没做到这一点。
3. 不可测集与选择公理、数学的严密性
回顾一下“不可测集”这个词的意思：在勒贝格测度的意义下，总有一些集合是没办法定义测度的，这样的集合称为不可测集。同时已经被我们反复指出过的一点是：一个没受过专门数学训练的人所能想象到的任何古怪集合其实都是可测的，不可测集非常罕见。
不可测集的存在是数学中中一件令人遗憾的事实，要是能给直线的任何一个子集定义长度，这样的理论该有多么漂亮啊……数学中常常有这样的情形，一个人们通过直觉认定的美妙设想，偏偏被一两个好事者精心构造出的反例破坏了，但是数学毕竟受制于逻辑，不管一个反例多么煞风景，只要它确实成立，数学家也只好接受它。
可是不可测集这个例子有点不同：构造不可测集，用到了选择公理。
这件事情说来话长，简单的说，我们都知道整个数学是建立在一些很显然也很直观的公理之上的，这些公理大多数都是诸如等量之和为等量之类的废话，可是选择公理稍微复杂一点，它是说：
任何给定一组非空集合，我们总能从其中的每一个集合里取出一个元素组成一个集合。
也像废话一样，是吧，可是这句话多少有点罗嗦，不像等量之和为等量一样简单明了。于是人们对它多少有所争议，有人认为它不应当排在基本公理之内。可是毕竟这句话也挑不出什么错，而且人们很快发现，很多很有用的数学结果离开选择公理就变得很难证明或者根本不可能证明，于是将就着也就承认它了。
可是不可测集的存在却又掀起了人们的疑虑，反对选择公理的人说，看看吧，要是没有选择公理，也就没有不可测集了。
赞成的人反驳说，不可测就不可测呗，有什么大不了的……虽然整个理论确实变得不那么完美了。——他们不知道更大的问题还在后面。1924年，波兰数学家巴拿赫（Banach）在选择公理和不可测集构造法的基础上，证明了石破天惊的“分球定理”：一个半径为1的实心球，可以剖分成有限的若干块，用这些块可以完整地重新拼出两个半径为1的实心球体！

这一下引起轩然大波，反对选择公理的数学家们声势大振，认为选择公理完全是trouble maker，必欲除之而后快。赞成选择公理的数学家们则指出选择公理“功大于过”，毕竟有很多有价值的数学成果出自选择公理的基础。双方僵持的结果是大家各行其是，大多数数学家承认选择公理，同时忍受巴拿赫分球定理所带来的不适感，少数数学家坚持不要选择公理，为此失去很多别的很有用的定理也在所不惜。
这一僵持局面维持了很多年，直到二十世纪的中叶才被戏剧性地解决。人们在不承认选择公理的假设下构造出了一大堆比巴拿赫的球体更严重的反例（例如一个空间同时有两个维数）。这些反例不只像巴拿赫的例子一样违反直觉，而且还严重的破坏了大多数已有的数学结果。于是人们发现，承认选择公理也许是必须的，而像巴拿赫的反例那样的反直觉的结果，也只能被迫承担下来了。
所以到今天几乎所有的数学研究都是在承认选择公理的基础上进行的。虽然作为一种后遗症，人们总是会时不时地谨慎的在使用选择公理的时候加上一句声明：“本文依赖选择公理。”——这也许是这条公理的一个特殊待遇了。
以上便是这段公案的来龙去脉。很多人可能在读完这段故事之后疑虑重重。什么啊？数学家们难道是这么随便的确定公理体系的么？如此的实用主义，似乎全然置真理的地位于不顾的样子。很多人可能还会想起欧几里德第五公设的故事，觉得数学家们原来如此不负责任，带给人们的不是一套严整规范的理论体系，而是一个支离破碎的混乱图景。连公理的问题都搞不定，整个数学岂不是空中楼阁？
限于篇幅，这篇文章不可能对这个问题予以展开论述，可是至少我们可以澄清一个常见的似是而非的误解：数学是严密性的科学，数学的发展也只有在严密的公理化基础上才能得以实现。
这句话——至少在字面上——是对的。不可测集的例子本身就说明，为了严密性，数学家们甚至不惜放弃直观，——像巴拿赫球那样的例子尽管如此怪诞，可是它是严密逻辑的产物，数学家也只好承认它的存在。
可是在更宏观的层面上，这句话却是错的。前面提到的分析学就是很好的例子：微积分的思想的提出是在十七世纪，在随后的十八世纪里取得了丰硕的成果，可是它的严密化却直到十九世纪下半叶才真正得以实现。测度论是另一个例子：“测度”是人们对于长度这个词的直观理解的严密化，可是这并不是说，在测度论被提出之前的漫长岁月里人们对于长度都一无所知，恰恰相反，人们已经知道了相当多的事情，只是等待测度论的语言让一切都变得精确和完整而已。
所以数学的发展实质上是一个拖泥带水的过程，一代又一代崭新、充满活力却又粗糙的思想被提出来，人们意识到它的重要性，予以发扬光大，产生一系列重要的成果同时又带来困惑，直到崭新的数学语言诞生，清理战场，让一切显得井井有条，像教科书上的文字一样道貌岸然，而同时却又有新的粗糙的思想诞生了…… 在这个过程里，严密性始终只是一个背景，尽管无处不在，可是并不占据舞台的统治地位。数学家们在意严密性，追逐严密性，甚至不惜为了严密性而牺牲看似有价值的学术成果，可是严密性并不是数学发展的引领旗帜，从来都不是。
这就是为什么同很多人的误解相反，大多数数学家其实并不关心那些关于数学基础的哲学性的争论，这也就是为什么我把眼前这些讨论放进附记的原因——一件事情是不是关系到数学的逻辑基础和这件事情在数学上是不是重要一点关系都没有。所有这些故事：可数与不可数、可测与不可测、选择公理等等，都是和二十世纪初所谓“第三次数学危机”的大背景联系在一起的，那段时间里数学家之间产生了无数纷争，可是今天的数学学生们在严肃认真地学习集合论和测度论的同时，却只对那些八卦付之一笑，作为茶余饭后的谈资。——事实上，即使在二十世纪初，也有大量的数学家根本不关注这件事情或者压根就采取了日后看来是错误的立场（反对康托，反对不可数集的概念，等等）却同时又在自己的领域里作出了重要的甚至是历史性的贡献。
关于那个所谓的“第三次数学危机”，有一本著名的科普著作《数学：确定性的丧失》[2]专门讨论了它。这本书内容相当详尽，不幸的是它所引起的误解和它阐明的事情一样多。关于这次“危机”的描述主要集中在第十二章，那一章的结尾倒是相当深刻，值得特别引用在此：
“一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。”

搬运完毕。

我可以舔舔你的菊花吗？

首页又见到坟贴。故将解答顶上。

太长不看
　　　┈┈┈ 世界上最无聊的事就是一手玩着疯狂猜歌，一手用着听歌识曲