整数正序倒序求和与平方数的关系：
图一：1+2+1=2²
图二：1+2+3+2+1=3²
图三：1+2+3+4+3+2+1=4²
…
因此
1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n²

奇数正、倒序求和：
图一：1+3+1=1²+2²
图二：1+3+5+3+1=2²+3²
图三：1+3+5+7+5+3+1=3²+4²
…
因此
1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n-1）+…5+3+1=n²+（n+1）²

勾股定理亦称毕达哥拉斯定理，证明方法约400种，其公元前400年左右1²+1²=（√2）²，这一无理数的发现，直接引发了第一次数学危机。