咱们得先把同构映射和两个空间同构搞清楚了～
1.同构映射（设是V到U的同构映射A）：（1）A是线性映射（对于任意的a属于V，都存在唯一的b使得A（a）=b，并且A满足线性性（加法、数乘））
（2）A是单射（若有A（a）=A（b），则a=b（a、b属于V）；KerA=0即若有A（a）=0，则a=0）
（3）A是满射（对于任意的b属于U，都存在a属于V使得A（a）=b；ImA=U）
08大神论述的线性映射A在两组基下的矩阵只要满足是可逆矩阵就说明A是同构映射正是因为A满足了上面的条件
2.V与U同构：存在V到U的同构映射（dimV=dimU）
（括号里面的都是充要条件）
注意2中的“存在”二字，说明并不是V与U同构那么V到U的所有线性映射都是同构映射，所以“还有人说维数相同…同构映射”是错误的
下面回答你的问题
两个不同空间的基，即使两空间维数相同，基也不一定能互相表出（比如说一个是n^2维向量空间、一个是全体n阶矩阵空间）；但只要给出具体的线性映射并且确定了两个空间的基，它在两个空间基下的矩阵就存在，无需维数相同这个条件；但是若是同构映射就必须满足它是可逆矩阵这一条件
@天性使然ITALIA
1.同构映射（设是V到U的同构映射A）：（1）A是线性映射（对于任意的a属于V，都存在唯一的b使得A（a）=b，并且A满足线性性（加法、数乘））
（2）A是单射（若有A（a）=A（b），则a=b（a、b属于V）；KerA=0即若有A（a）=0，则a=0）
（3）A是满射（对于任意的b属于U，都存在a属于V使得A（a）=b；ImA=U）
08大神论述的线性映射A在两组基下的矩阵只要满足是可逆矩阵就说明A是同构映射正是因为A满足了上面的条件
2.V与U同构：存在V到U的同构映射（dimV=dimU）
（括号里面的都是充要条件）
注意2中的“存在”二字，说明并不是V与U同构那么V到U的所有线性映射都是同构映射，所以“还有人说维数相同…同构映射”是错误的
下面回答你的问题
两个不同空间的基，即使两空间维数相同，基也不一定能互相表出（比如说一个是n^2维向量空间、一个是全体n阶矩阵空间）；但只要给出具体的线性映射并且确定了两个空间的基，它在两个空间基下的矩阵就存在，无需维数相同这个条件；但是若是同构映射就必须满足它是可逆矩阵这一条件
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