【周期函数】抽象函数的周期性。

先来个段子吸引读者。
一男子去做礼拜，贪色修女的美貌，想调戏，被骂了一顿。旁边一扫地老太太指点他：你要爱她，可装成神父约她，一定成功。当晚，色男带假面具叫修女出来约会，完毕后得意地摘下面具说：哈哈，我不是神父，我是白天调戏你的人！修女也摘下面具说：我也不是修女，我是白天扫地的老太太 。

先上定义，来自百度。
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。

手机党，有些慢。

周期函数的性质共分以下几个类型：
（1）若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。
（2）若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。
（3）若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。
（4）若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f(X）的两个周期，且 T1/T2不是无理数，则f(X）存在最小正周期
（6）若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。
（7）周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
这段还是搬的。

三、函数的周期性。
性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下
　　列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
　　　1.f(x＋a)＝f(x－a)，
　　　2.f(x＋a)＝－f(x)，
　　　3.f(x＋a)＝1/f(x)，
　　　4.f(x＋a)＝－1/f(x)，
5.f(x+a)+f(x)=1，

选两个证明一下。
1.因为f(x＋a)＝f(x－a)，所以f(（x＋a）+a)＝f((x+a)－a)，即f（x+2a）=f（x），所以f（x）是周期为2a的周期函数。
5.因为f(x+a)+f(x)=1，所以f((x+a)+a)+f(x+a)=1,f（x+2a）=1-f（x+a）=1-（1-f（x））=f（x）.

剩下的按照上面的方法自己证试试吧，楼主手机打字好累啊。。

帮顶……

1.函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.

（4）再证一下吧，方法一样。
因为关于x=a对称，所以f（x+2a）=f（-x）.因为关于（b,0）对称。所以f（x+2b）=-f（-x）=-f（x+2a）
f（x-2a+2b）=-f（x-2a+2a）=-f（x）
f（x-2a+2b-2a+2b）=-f（x-2a+2b）=f（x）
即f（x+4b-4a）=f（x）

函数的周期性，奇偶性，对称性常常综合考察（填空题）。在这里讲一下这三者的本质，即他们的联系，题目考的无非就是这些。

设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.
条件B: f(x)关于x=a对称
条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.
结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.
证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问）
∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期
②已知A、C→B
∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称
③已知C、B→A
∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数。

所以，（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.