目录：
1、什么是逻辑代数
2、逻辑代数公理和定理
3、与运算，或运算与非运算
4、逻辑代数定律与证明方法

一、什么是逻辑代数

逻辑代数，也叫做开关代数。起源于英国数学家乔治·布尔(George Boole)于1849年创立的布尔代数，是数字电路设计理论中的数字逻辑科目的重要组成部分。是数理逻辑中较早形成的一个分支，指一种代数化的逻辑。 它是用代数公式表示逻辑关系， 把代数方法应用于逻辑研究的结果。
参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。每个变量只有两个，即为1和0。0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。
逻辑代数有两种不同的体制，分别为正逻辑与负逻辑
正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。
负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。
逻辑函数：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D)

二、逻辑代数的公理和定理
1、逻辑代数的公理：
（1）若A不等于零，则A=1；若A不等于1，则 A=0。
（2）0+0=0；1+1=1；0+1=1；1+0=1；
（3）0*0=0；1*1=1；1*0=0；0*1=0； （4）0的非运算=1；1的非运算=0；
上面三条公理的（1）（3）两条体现出了逻辑变量只有两种取值，分别为1和0
2、逻辑代数定理：
（1）A+0=A；A+1=1；A+A=A；
（2）A+0=0；A+1=1；A+A=A；
（3）A+非A=1；A+非A=0；
（4）非A的非运算=A
讲解一下第（2）点的第二个式子与第三个式子
A+1=A
用穷举法来证明
先假设A为0，则0+1=1 等式成立
再假设A为1，则1+1=1 等式成立
所以A+1=1
A+A=A
先假设A为1，则1+1=1 等式成立
再假设A为0，则0+0=0 等式成立
所以A+A=A
上面所写的定理都可以通过这种方法来证明

三、与运算，或运算和非运算
与运算
与运算代表的是逻辑乘法，这与与门的公式有关系，与门的公式为F=A+B(这里的B表示除了A之外的所有逻辑变量)
逻辑乘法通常用符号“×”或“∧”或“·”来表示。逻辑乘法运算规则如下：
　　0×0=0， 0∧0=0， 0·0=0
　　0×1=0， 0∧1=0， 0·1=0
　　1×0=0， 1∧0=0， 1·0=0
　　1×1=1， 1∧1=1， 1·1=1
　　不难看出，逻辑乘法有“与”的意义。它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时，其逻辑乘积才等于1。
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或运算
或运算代表的是逻辑加法，这与或门的公式有关系，或门的公式为F=A+B
逻辑加法通常用符号“+”或“∨”来表示。逻辑加法运算规则如下：
　　0+0=0， 0∨0=0
　　0+1=1， 0∨1=1
　　1+0=1， 1∨0=1
　　1+1=1， 1∨1=1
　　从上式可见，逻辑加法有“或”的意义。也就是说，在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑加的结果为1；两者都为1则逻辑加为1。
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非运算
非运算代表的是逻辑否定，这个与非门的公式有关系，非门的公式为F=非A
逻辑非运算又称逻辑否运算。其运算规则为：
　　┐0=1 （非0等于1）
　　┐1=0 （非1等于0）
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与或非三种基本运算可以帮助我们更快的理解关于真值表以及卡诺图等等

补充：乘法原理和加法原理与逻辑代数的关系
⒈与逻辑和乘法乘法原理中自变量是因变量成立的必要条件，与逻辑的定义正好和乘法原理的描述一致，所以与逻辑和乘法对应。
⒉或逻辑和加法加法原理中自变量是因变量成立的充分条件，或逻辑的定义正好和加法原理的描述一致，所以或逻辑和加法对应。乘法就是广义的与逻辑运算，加法就是广义的或逻辑运算。与逻辑运算可以看作是乘法的特例。或逻辑运算可以看作是加法的特例。
总之，乘法原理、加法原理可以看作是与逻辑和或逻辑的定量表述；与逻辑和或逻辑可以看作是乘法原理、加法原理的定性表述。

证明：
在这里我会列举两种证明方法，一种是对于逻辑代数式直接计算证明，另一种是穷举证明
1、交换律：AXB=BXA A+B=B+A
这两个我感觉不用再证明了
2、结合律：A+(B+C)=(A+B)+C A·(B·C)=(A·B)·C
关于结合律也没有什么好讲的
3、分配律 A·(B+C)=A·B+A·C A+ (B·C)=(A+B)·(A+C)
前面三个是基础，小学课本上就有教，我们主要要证明的是下面的几种定律

吸收律：
1、 A·(A+B)=A
A·(A+B)
=AA+AB
=A+AB
=A(B+1)
=A
这里解释一下倒数第二步，为什么B+1=1，
假设B为0，则0+1=0，若B为1，则1+1=1
所以B+1=1
直接用穷举也是可以的，分别假设AB的值，写出四种情况
2、A+A·B=A
A+A·B
=A(B+1)
后面就不用说了

互补律
互补律没有办法像上面那样通过式子直接证明，所以我们用穷举法
1、 A+A′=1
假设A的值为0，则A′为1，最后1+0=1
再假设A的值为1，则A′为0，最后0+1=1
所以 A+A′=1
2、A·A′=0
假设A的值为0，则A′为1，最后1X0=0
再假设A的值为1，则A′为0，最后0X1=0
因为不管A为多少，A与A′中必有一个为0，所以与运算后的结果自然为0

不错OWO

幂等律
1、 A·A=A
A·A=A^2
因为A的取值非1即0，且1,0的平方皆为自身，所以A·A=A
2、A+A=A
首先假设A为0，则0+0=0
再假设A为1，则1+1=1
所以A+A=A

对合律
(A*)*=A
假设A为0，则A*为1，(A*)*的值为0，即为A本身
假设A为1，则A*为0，(A*)*的值为1，即为A本身
所以(A*)*=A

狄摩根定律
第一个定律出现了问题，你会发现它只有在A=B时才是成立的
所以我们证明第二个
(A·B)′=A′+B′

参照图标你会发现，无论在哪种情况下，(A·B)′都与A′+B′相等

重叠律
A+A′B=A+B=B′+BA

依然还是用图表观察，证明重叠律成立

第一期的教程就到这里了，可能还会多加一篇逻辑门的教程，下次更新要等到下次放长假的时候了