图片被吞掉了·······
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考古

测试一下

虽然是9年前的问题了，也不太理解为什么楼主要在这个贴吧里提问，但这里还是尝试强答一波问题：
其实很简单，就是利用H=a^{\dagger}a+\frac{1}{2}作为厄密算符的完备性。先还原一下问题：这样找出的基是不是找全了？这个问题实际上有两面：一是这组基是不是完备的。直观来看就是这样的基是不是找全了，因为产生湮灭算符总是有作用，所以一切解都可以按那套来描述。所以这个问题实际上只能是描述第二面（由第一面延申：如果所有的基都可以用产生湮灭算符来描述，那么是不是有某种简并的自由度没有被发掘）。不过由于阶梯性你总可以下降到0这个state，所以问题就是总共有多少个0态。这时候就回到楼主第二个问题：”很直观地，可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态 （n = 0）。“需要说明这样的state存在且唯一。用微分方程检验其实是最容易的，而且我个人觉得你几乎不能有其他方式，因为总可以添加其他自由度（例如添加自旋自由度使得这样的state确实是简并的（简并度为2s+1个），只有回到坐标空间才能完成这样完备性的检验，不过这时候不至于去解最复杂原始薛定谔方程了，只需要利用a湮灭0 state即可）。