@xiAoFeng1352 我C之前说反了…

再来一道，A、B实对称，B可逆，且AB^（-1）有n个不同特征值，则A和B可同时合同对角化。
这个题就是把两种对角化搅和在一起@夏De夭

此题直接算就可以了，@羊羊920816 @xiAoFeng1352 @夏De夭
首先假设B=Q^{-1}DQA，其中Q可逆，D为对角元两两不相等的对角矩阵。
因为B*=B，可得：QAQ*D=DQAQ*，由于D的对角元两两不相等，直接利用矩阵乘法就知道：QAQ*也是一个对角阵，记为C.
从而QBQ*=DQAQ*=DC也为对角阵。

39楼的图片貌似笔误了？A^{T}是nXm，那么B应该是mXn?
设A=PDQ，其中P,Q是可逆矩阵，D为
Ir 0
0 0
分块为前r行，后m-r行，前r列，后n-r列。
A^{T}B=B^{T}A
当且仅当(PDQ)^{T}B=B^{T}PDQ
当且仅当D^{T} P^{T}BQ^{-1}=(P^{T}BQ^{-1})^{T} D
设P^{T}BQ^{-1}为
B11 B12
B21 B22
分块为前r行，后m-r行，前r列，后n-r列。则A^{T}B=B^{T}A当且仅当
B11 B12
0 0
等于
B11^{T} 0
B12^{T} 0
对比得到B11是对称的，B12=0，其他应该随意吧？

构造一个n+1阶的矩阵.

按照楼上08的说法再补个题：J=diag（J1（λ1），J2（λ2）），且λ1≠λ2.若AJ=JA，则A=diag（A1，A2）。且A1与J1（λ1）可换，A2与J2（λ2）可换.
这个证明需要借用一道题

需要借用这个题

熄灯了躺床上，只能用手机记事本打草稿…
设a=（a1，…，an）^T
令b=（b1，…，bn）^T
其中令1-2b1^2=a1，则b1=√（（1-a1）/2），令-2bib1=ai，则bi=-ai/（2b1）=-ai/（2√（1-a1）/2））（i=2，…，n）
则b^Tb=（1-a1）/2+a2^2/（2（1-a1））=（1-2a1+a1^2+a2^2+…+an^2）/（2（1-a1））=（1-2a1+1）/（2-2a1）=1
所以b为单位列向量
则令A=E-bb^T，由上可知A的第一列即为a，并且A正交且对称@xiAoFeng1352

证明数域上的线性空间有一组基。

@夏De夭 矩阵的行列式的值，等于它的所有特征值的乘积，这定理怎么证明。

不要荒废这个帖子。。。慢慢添题
设G是有限群，p(x)=x^3,x属于G，是G的一个自同态映射，证明若3不整除G的阶数，则G为交换群。