第三页：
1、所有的人都犯错误。
2、有且仅有一个偶质数。
3、有些人对所有酒都感兴趣。
4、所有的人都对某些酒感兴趣。
5、尽管有人可恶，但并不是所有的人都可恶。
6、对于任意实数，存在更大的实数。
7、某些火车比所有飞机慢，但至少有一架飞机比所有火车快。
8、并非所有的人都喜欢喝酒。
解：
1、P(X)：X是人 Q(X)：X犯错误
(Vx)(P(x)->Q(x))
2、A(X):X是数 P(X)：X是偶数 Q(X):X是质数 E(A, B)：A等于B
(Ex)(A(X)^P(x)^Q(x))^(Vx1, x2)(A(x1)^A(x2)^P(x1)^P(x2)^Q(x1)^Q(x2)->E(x1, x2))
3、P(X)：X是人 Q(X)：X是酒 I(A, B)：A对B感兴趣
(Ex)(P(x)^(Vy)(Q(y)->I(x, y)))
4、P(X)：X是人 Q(X)：X是酒 I(A, B)：A对B感兴趣
(Vx)(P(x)->(Ey)(Q(y)^I(x, y)))
5、P(X)：X是人 Q(X)：X可恶
~(Vx)(P(x)->Q(x))
6、P(X)：X是实数 Q(A, B)：A比B大
(Vx)(P(x)->(Ey)(P(y)^Q(y, x)))
7、T(X)：X是火车 P(X)：X是飞机 F(A, B)：A比B慢
(Ex)(T(X)^(Vy)(P(y)->F(x, y)))^(Ey)(P(X)^(Vx)(T(x)->F(x, y)))
8、P(X)：X是人 Q(X)：X是酒 I(A, B)：A喜欢喝B
~(Vx)(P(x)->(Ey)(Q(y)^I(x, y)))（*注意争议在于是存在某些酒而不是所有的酒）

第四页：
（*注意ES、US、EG、UG的展开方式一般是先ES展开再US展开，最后EG收拢，一般不会要求UG收拢）
1、(Ex)A(x)->(Vx)B(x) => (Vx)(A(x)->B(x))
1）~(Vx)(A(x)->B(x))P（附加前提）
2）(Ex)~(A(x)->B(x))T1E
3）~(~A(a)VB(a))ES2
4）A(a)^~B(a)T4E
5）A(a)T5I
6）~B(a)T5I
7）(Ex)A(x)EG6
8）(Ex)A(x)->(Vx)B(x)P
9）(Vx)B(x)T68I
10）B(a)US9
11）B(a)^~B(a)(矛盾)T711I
2、(Vx)(M(x)^(P(x)VQ(x)))->~H(x))，(Vx)(M(x)^~H(x)->~(E(x)^A(x)))，(Ex)(M(x)^E(x)^A(x))=>(Ex)(M(x)^~Q(x))
1）(Ex)(M(x)^E(x)^A(x))P
2）M(a)^E(a)^A(a)ES1
3）M(a)T2I
4）E(a)T2I
5）A(a)TI2
6）(Vx)(M(x)^~H(x)->~(E(x)^A(x)))P
7）M(a)^~H(a)->~(E(a)^A(a))US6
8）E(a)^A(a)T45I
9）~(M(a)^~H(a))T78I
10）~M(a)VH(a)T9E
11）H(a)T310I
12）(Vx)(M(x)^(P(x)VQ(x)))->~H(x))P
13）M(a)^(P(a)VQ(a))->~H(a)US12
14）~(M(a)^(P(a)VQ(a)))T1113I
15）~M(a)V~(P(a)VQ(a))T14E
16）~M(a)V(~P(a)^~Q(a))T15E
17）~P(a)^~Q(a)T316I
18）~Q(a)T17I
19）M(a)^~Q(a)T319I
20）(Ex)(M(x)^~Q(x))EG19
3、(Vx)(N(x)->(E(x)VO(x)))，(Vx)(N(x)->(E(x)<=>R(x)))，~(Vx)(N(x)->R(x))=>(Ex)(N(x)^O(x))
1）~(Vx)(N(x)->R(x))P
2）(Ex)~(N(x)->R(x))T1E
3）~(N(a)->R(a))ES2
4）~(~N(a)VR(a))T3E
5）N(a)^~R(a)T4E
6）N(a)T5I
7）~R(a)T5I
8）(Vx)(N(x)->(E(x)<=>R(x)))P
9）N(a)->(E(a)<=>R(a))US8
10）E(a)<=>R(a)T69I
11）~E(a)T710I
12）(Vx)(N(x)->(E(x)VO(x)))P
13）N(a)->E(a)VO(a)US12
14）E(a)VO(a)T613I
15）O(a)T1114I
16）N(a)^O(a)T615I
17）(Ex)(N(x)^O(x)EG16
4、(Ex)(F(x)^S(x))->(Vy)(M(y)->W(y)), (Ey)(M(y)^~W(y))=>(Vx)(F(x)->~S(x))
1）~(Vx)(F(x)->~S(x))P（附加条件）
2）(Ex)~(F(x)->~S(x))T1E
3）~(F(a)->~S(a))ES2
4）~(~F(a)V~S(a))T3E
5）F(a)^S(a)T4E
6）(Ex)(F(x)^S(x))EG5
7）(Ex)(F(x)^S(x))->(Vy)(M(y)->W(y))P
8）(Vy)(M(y)->W(y))T67I
9）(Ey)(M(y)^~W(y))P
10）M(b)^~W(b)ES9
11）~~(M(b)^~W(b))T10E
12）~(~M(b)VW(b))T11E
13）~(M(b)->W(b))T12E
14）(Ey)~(M(b)->W(b))EG13
15）~(Vy)(M(b)->W(b))T14E
16）(Vy)(M(y)->W(y))^~(Vy)(M(b)->W(b))（矛盾)T815I
5、~(Ex)(F(x)^H(x)), (Vx)(G(x)->H(x))=>(Vx)(G(x)->~F(x))
1）~(Vx)(G(x)->~F(x))P（附加条件）
2）(Ex)~(G(x)->~F(x))T1E
3）~(G(a)->~F(a))ES2
4）~(~G(a)V~F(a))T3E
5）G(a)^F(a)T4E
6）G(a)T5I
7）F(a)T5I
8）~(Ex)(F(x)^H(x))P
9）(Vx)~(F(x)^H(x))T8E
10）~(F(a)^H(a))US9
11）~F(a)V~H(a)T10E
12）~H(a)T711I
13）(Vx)(G(x)->H(x))P
14）G(a)->H(a)US13
15）~G(a)T1214I
16）G(a)^~G(a)（矛盾）T615I
6、(Vx)(M(x)->(U(x)^Y(x))),(Ex)(M(x)^W(x))=>(Ex)(M(x)^Y(x)^W(x)^U(x))
1）(Ex)(M(x)^W(x))P
2）M(a)^W(a)ES1
3）M(a)T2I
4）W(a)T2I
5）(Vx)(M(x)->(U(x)^Y(x)))P
6）M(a)->(U(a)^Y(a))US5
7）U(a)^Y(a)T3I7I
8）U(a)T7I
9）Y(a)T7I
10）M(a)^Y(a)^W(a)^U(a)T3489I
11）(Ex)(M(x)^Y(x)^W(x)^U(x))EG10

第五页：
（*为方便起见约定%为包含符号，/为属于符号，&为空集符号，\为交集符号， |+|为对称差符号）
1、对任意集合A，B，求证：P(A) U P(B) % P(A U B)
证明：
对于Vx / P(A) U P(B)，
那么x / P(A) U x/P(B)
即，x % A V x % B
即，x % (A U B)
即，x / P(A U B)
即，P(A) U P(B) % P(A U B)
证毕
（*典型的展开再收拢的证法）
2、设A,B为两个集合，若A \ B != %，则
(A \ B) x (A U B) % (A x A) U (B x B)
证明：
对于V<x, y> / (A \ B) x (A U B)
x / (A \ B), y / (A U B)
(x / A ^ x / B) ^ (y / A V y / B)
<=> ((x / A ^ x / B) ^ y / A) V ((x / A ^ x / B) V y / B)
<=> (x / A ^ x / B ^ y / A) V (x / A ^ x / B ^ y / B)
=>（*注意是单方向箭头）
(x / A ^ y / A) V (x / B ^ y / B)
<=> <x, y> / (A x A) U (B x B)
证毕
3、证明 P(A) \ P(B) = P(A \ B)
证明：
1）对Vx / P(A) \ P(B)
即，x / P(A) ^ x / P(B)
即，x % A ^ x % B
即，x % (A \ B)
即，x / P(A \ B)
即 P(A) \ P(B) % P(A \ B)
2）对Vx / P(A \ B)
即，x % A \ B
即，x % A ^ x % B
即，x / P(A) ^ x / P(B)
即，x / P(A) \ P(B)
即 P(A \ B) % P(A) \ P(B)
由1) 2)可知P(A) \ P(B) = P(A \ B)
证毕
4、设A和B是论域E的子集，B = ~A <=> A U B = E ^ A \ B = &
证明：
（从左边到右边）
1）
B = ~A
∴A U B = A U ~A = E
同时，A \ B = A \ ~A = &
2）（从右边到左边）
对Vx % B / E 由于 A \ B = &
∴x !% A
即B = { x | x % E 且 x !% A }
即，B = E - A = ~A
由1） 2） 可知原命题成立
证毕
5、证明：若A |+| B = A |+| C 则有 B = C
证明：
法一：（*推荐使用这种证法）
A |+| B = A |+| C
A |+| (A |+| B) = A |+| (A |+| C)
(A |+| A) |+| B = (A |+| A) |+| C
& |+| B = & |+| C
∴B = C
法二：（*这种证法建议画图来看）
（1）对Vx % B
若x % A
=> x % A \ B
=> x !% A |+| B
=> x !% A |+| C
即，x % A ^ x !% A |+| C
=> x % A \ C
=> x % C
若x !% A
=> x !% A \ B
=> x % A U B ^ x !% A \ B
又，x % A |+| C
即，x !% A ^ x % A |+| C
=> x % C
所以 B / C
（2）同理可证
C / B
由（1）（2）可知 B = C
（*关键在于证明充分性的时候的反证法的利用）
6、P(A) U P(B) = P(A U B)当且仅当A / B 或 B / A
证明：
1）若P(A) U P(B) = P(A U B)
假设A !/ B 且 B !/ A
则 (Ex)(x % A ^ x !% B) ^ (Ey)(y !%A ^ y %B)
=>a % A ^ a !% B ^ b % B ^ b !% A
=>{a, b} / P(A U B) ^ {a, b} !/ P(A) ^ {a, b} !/ P(B)
即有，{a, b} !/ P(A) / P(B)
即，~{a, b} / P(A) ^ ~{a, b} / P(B)
即，~({a, b}/% P(A) V {a, b} / P(B))
即，~{a, b} / P(A) U P(B)
与{a, b} / P(A U B)矛盾
故A / B 或 B / A
2）若A / B 或 B / A
若A / B
P(A) / P(B)
且，A U B = B => P(A U B) = P(B)
故，P(A) U P(B) = P(B) = P(A U B)
当B / A时同理
故P(A) U P(B) = P(A U B)
由1）2）可知原命题成立，证毕

第七页：
（*满射的证法：对Vy % Y，令f(x) = y，证x % X存在）
（*入射的证法：对Vx1、x2 % X，令f(x1) = f(x2)，有且仅有 x1 = x2）
1、令gof是一个复合函数，则
(1)若g 和f 是满射的,则 g·f 是满射的；
(2)若g 和f 是入射的,则 g·f 是入射的；
(3)若g 和f 是双射的,则 g·f 是双射的。
证明：
设f:X->Y g:Y->Z gof:X->Z
1）若f、g是满射的，
对Vz % Z，由于g是满射的，则
Ey % Y，有g(y) = z
又f是满射的，
则Ex % X，有f(x) = y
即g(f(x)) = z
得g·f(x) = z，x % X
故g·f是满射的
2）若f、g是入射的
有Vx1、x2 % X，设g·f(x1)=g·f(x2)
则g(f(x1)) = g(f(x2))
因为g是入射的，可知
f(x1) = f(x2)
又f是入射的，
∴x1 = x2
故g·f是入射的
3）由1）2）可知，若g、f是双射的，则g·f是双射的。
2、令g·f是复合函数，则
(1)若g·f 是满射的,则g是满射的；
(2)若g·f 是入射的,则f是入射的；
(3)若g·f 是双射的,则g是满射的，f是入射的。
证明：
1）若g·f是满射的，则
对Vz % Z，Ex % X，g·f(x) = z
即，g(f(x)) = z
又因为f是一个函数
对于上述的x，一定存在这样一个y，使得
f(x) = y，即
对Vz % Z，有g(y) = z，
故g是满射的。
2）若g·f是入射的，则
对于Vx1，x2 % X，
设f(x1) = f(x2)
∵g·f是入射的
且g(f(x1)) = g(f(x2))
故g·f(x1) = g·f(x2)
∴x1 = x2
故f也是入射的
3）由1）2）可知，当g·f是是双射的，则g是满射的f是入射的。
证毕

终于发完了

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好人

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考原题吗？