正整数对 http://post.baidu.com/f?kz=21060532
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观察下列正整数对:
(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13),(9,15),(11,18),(12,20),(14,23)......
设第i对正整数是(Ai,Bi),Ai是前面没有出现过的最小正整数,Bi=Ai+i.
当i趋近于正无穷时,lim(Ai/Bi)是多少？
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这是东方角落首次在数学吧提问. 此问题源自一个取石子游戏：
两人轮流取两堆石子，每次有两种取法：
(1)在其中一堆取走若干个，至少取一个，可以取完.
(2)同时从两堆里取走数量一样的石子，至少各取一个，可以把少的那堆取完.
谁取走了最后一个石子，谁就胜利了.
东方角落经过反复尝试，发现先取必败无非就是这些情况：
(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13),(9,15),(11,18),(12,20),(14,23)......
如果不是这些情况，先取者必能制造出这些情况的其中一种，从而获得胜利.
东方角落进一步观察了这些正整数对，提出了上述问题.
此问题一提出，就得到了数学吧里顶尖高手们的重视，他们是：
cts245、wan_ls、jerry_science、6700417
他们提到了“斐波纳契数列”、机械振动学里的“贝蒂-瑞利定理”，以及“贝蒂-瑞利定理”的详细证明，在短短的5个小时之内就完美地攻破了难题.
其中，定理的详细证明相当精彩，以至于一般的初三学生看了之后都拍手叫绝，给东方角落留下了深刻的印象

随机染色 http://post.baidu.com/f?kz=22280209
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1.在一串无限长的随机生成的01数字串中，我们把连续的0或1称为“一段”，则每一段的平均长度是多少？(每个数字是0或1的概率均等)
0111100011101001111100111001001010100000000110......
2.把问题1扩展到二维空间：把一个无限大的平面分割成无限多个单位小方格，每个小方格都有相同的概率被染成白色或黑色，我们把相连的同种颜色的小方格看成“一块”，则每一块的平均大小是多少？
白白白白白白白黑黑白黑白黑黑白黑白黑 ... ...
白白白黑白白白黑白黑白白黑白白黑白黑
白黑白黑白黑黑白黑白白白黑白黑白白白
白白白黑黑白黑黑黑黑黑黑黑白白黑白黑
黑白黑黑白白白白黑白黑白白黑白黑黑白
黑黑黑白白白黑黑黑白白黑黑白白黑白白
白黑白白黑白黑黑黑白白白黑白黑白白黑
白黑黑白黑白黑黑黑黑白白黑白黑黑黑白
白白白黑黑白白白黑白黑黑白白黑黑白黑
白白黑黑黑黑白白白白白黑白黑黑白黑白
黑黑黑黑黑黑白黑白黑黑白白黑黑白黑白
黑黑白黑黑黑黑白白黑白黑白白白黑白白
白白白黑白黑白白白白黑白白黑黑黑白黑
黑黑黑白黑黑黑黑黑白白白白白黑白白白
白白黑黑白白白黑白黑白黑黑黑白白黑白
白白白黑白白白白白黑白黑黑白黑黑黑白
黑黑白白白白白黑白黑白白白黑白黑黑黑
白黑黑黑白黑黑黑白白白黑白白黑白白白
... ...
3.若把规模扩展到三维，情况又是怎样的呢？
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东方角落当时在研究的难题，自己编的，自己解不出.
二维和三维的情况复杂，难以得到精确的和严格的解答

Ack函数 http://post.baidu.com/f?kz=22325405
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已知函数:
```````{m+1(n=0)
f(n,m)={f(n-1,1)(m=0,n>0)
```````{f[n-1,f(n,m-1)](nm>0)
求f(4,3)的值.
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东方角落的编程习题，题目只要求算f(3,2)，所以程序瞬间给出了答案.
有趣的是，f(4,3)的值计算机算不出来，说内存不够用.
于是东方角落决定亲自计算，弄清楚到底是怎么回事.
算出来之后，终于明白了，原来答案巨大，迭代次数巨多，以至于计算机无法存下每一次迭代的数据，只好宣告解答失败

猜区间 http://post.baidu.com/f?kz=28561372
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a1,a2,a3,a4是随机生成的0~1的四个实数，把它们按照从小到大排序，记为A1,A2,A3,A4(0<A1<A2<A3<A4<1)，它们把0~1分成了五个区间：(0,A1],(A1,A2],(A2,A3],(A3,A4],(A4,1)，游戏者是不知道A1,A2,A3,A4这四个数的，只能通过询问来猜区间：
问实数x1在哪一个区间？答：...
实数x2在哪一个区间？答：...
实数x3在哪一个区间？答：...
实数x4在哪一个区间？答：...
实数x5在哪一个区间？答：...
(x1,x2,x3,x4,x5必须是0~1的实数，保证每次回答都是真实的)
如果五次询问的回答刚好是每个区间一次，游戏者就胜利了，如果有两次询问的回答是一样的，游戏者就失败了.
应如何询问才能使胜利的概率最大？胜利的概率最大是多少？
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此问题初看起来无从下手，而且即使找到了问题的突破口，解答过程也是非常繁琐的，里面有个一元三次方程无论如何也无法绕开，除非用公式解，解出来的答案其繁无比.
于是乎，等了700天都无人回应

进1退π http://post.baidu.com/f?kz=42429501
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A和B一开始站在同一个地方，他们不停地猜拳，A赢了就前进1米，B赢了就前进π米（他们朝同一个方向前进）直到A前进到B的前面为止，求A能走到B前面的概率.
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当时大伙儿都在研究进1退2的问题，争论得不亦乐乎.
但是东方角落看完题目之后自个儿研究，花了一个晚上研究出来了，正想和大伙儿分享研究成果的时候，发现自己的想法和思路已经被别人提出来了，并且得到了不少人的支持，心里不知道是什么滋味.
后来决定把问题加强，改成进1退π，考考大家，同时也希望得到更通用的解法

数字迷阵 http://post.baidu.com/f?kz=42430705
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1 23 5 81321 34 55 89144
4 7 1118294776123199322521
610 16264268 110178288466754
915 243963 102 165267432699 1131
1220 325284 136 220356576932 1508
1423 376097 157 254411665 1076 1741
1728 4573 118 191 309500809 1309 2118
1931 5081 131 212 343555898 1453 2351
2236 5894 152 246 398644 1042 1686 2728
2541 66 107 173 280 453733 1186 1919 3105
2744 71 115 186 301 487788 1275 2063 3338
3049 79 128 207 335 542877 1419 2296 3715
3354 87 141 228 369 597966 1563 2529 4092
3557 92 149 241 390 631 1021 1652 2673 4325
3862100 162 262 424 686 1110 1796 2906 4702
4065105 170 275 445 720 1165 1885 3050 4935
4370113 183 296 479 775 1254 2029 3283 5312
4675121 196 317 513 830 1343 2173 3516 5689
4878126 204 330 534 864 1398 2262 3660 5922
... ...
数阵{A[i,j]}第一行{A[1,j]}是斐波纳契数列，第i行第1个数A[i,1]是前i-1行未出现过的最小正整数，A[i,2]=2*A[i,1]-i+1，A[i,j]=A[i,j-1]+A[i,j-2](j>2).
(1)求证：每个正整数恰好在数阵中出现一次;
(2)求通项A[i,j].
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“神奇的正整数对”升级成为“神奇的正整数阵”了，没想到这下子把大家都难倒了

进1退1 http://post.baidu.com/f?kz=47652954
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1.把一个棋子放在数轴的-1处，然后抛硬币，抛到正面就把棋子右移一个单位长度，抛到反面就把棋子左移一个单位长度，不停地这样操作，直到把棋子移到数轴原点为止. 求棋子到达原点的概率.
解：
设棋子从-1移到0的概率是x，考虑第一次抛硬币的情况：
(1)抛到正面：到达0点，概率是1/2
(2)抛到反面：退到-2处，概率也是1/2，要到达0点，就要先从-2移到-1(等效于从-1移到0)，概率是x，再从-1移到0，概率也是x
综合(1)(2)，得x=1/2+1/2*x*x
整理，得(x-1)^2=0
解得x1=x2=1
到达原点的概率是1
2.把一个棋子放在数轴的-1处，然后每一步都抛硬币决定移动方向：抛到正面就把棋子右移一个单位长度，抛到反面就把棋子左移一个单位长度. 不停地这样操作，直到把棋子移到数轴原点为止. 求棋子移到原点的平均步数.
解：
设棋子从-1移到0的平均步数是y，考虑第一次抛硬币的情况：
(1)抛到正面：到达0点，1步到达
(2)抛到反面：退到-2处，1步，从-2移到-1(等效于从-1移到0)，期望值y步，再从-1移到0，期望值也是y步
综合(1)(2)，得y=1*1/2+(1+y+y)*1/2
整理，得y=y+1
y无解
这是怎么回事？谁能解释一下？
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东方角落对进1退1现象产生了疑问，寻求解答.
至于后来发生了什么趣闻，且听下回分解

√2展开式 http://post.baidu.com/f?kz=65758119
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数列{An}的通项是An=1-3/(2n)(n=1,2,3,...).
Tn为{An}的前n项积.
Sn=1-T1+T2-T3+T4-T5+...+(-1)^n*Tn.
求lim(Sn)(n→∞).
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这是东方角落在玩windows计算器的时候发现的，通过计算√1.00000001、√1.0000001、√1.000001、√1.00001、√1.0001、√1.001、√1.01、√1.1的结果，得到了√2的展开式.
此题在3个月内无人回应，但是3个月之后……且听下回分解

正数VS负数 http://post.baidu.com/f?kz=73965878
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用两个正数把一个负数夹在中间，例如：
1,-2,2
然后像杨晖三角的构造方法那样把相邻的两个数相加得到下一行对应的数：
````1,-2,2````
```1,-1,0,2```
``1,0,-1,2,2``
`1,1,-1,1,4,2`
1,2, 0,0,5,6,2
到此为止，负数被正数吞没，不存在了.
但有的时候，不管加到第几行，总有负数夹在中间，负数永远都不会被正数吞没. 例如：
````````````1,-4,4````````````
```````````1,-3,0,4```````````
`````````1,-2,-3,4,4``````````
````````1,-1,-5,1,8,4`````````
```````1,0,-6,-4,9,12,4```````
`````1,1,-6,-10,5,21,16,4`````
```1,2,-5,-16,-5,26,37,20,4```
`1,3,-3,-21,-21,21,63,57,24,4`
1,4,0,-24,-42,0,84,120,81,28,4
... ...
问题：负数要永远存在，需要满足什么条件？(第一行三个数的大小关系？)
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东方角落原创的最极致最精美的题目，题目的描述给人一种新鲜、奇特的感受，仿佛看到了正数大军和负数大军在相互比拼、互相较量的壮观美妙的场面.
林培慧给出的解答也是精彩致极了，周全的考虑、清晰的条理、严谨的推导、漂亮的解答，给数学吧增添了一道亮丽的风景线

莲花井 http://post.baidu.com/f?kz=74349506
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街道两边各有一栋高楼AM,BN.
把长度分别为119和70的两架梯子AC,BD交叉搭在高楼上.
已知交点X离地面高度为30.
求街道的宽度AB.
贴子相关图片:
M`````````N
|`````````|
|D```````C|
|\```````/|
|`\`````/`|
|``\```/``|
|```\`/```|
|````X````|
|```/`\```|
|``/```\``|
|`/`````\`|
A/_______\B
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棘手的莲花井问题，如果不是东方角落精心挑选了一组合适的数据，就别想把答案瞎猜出来了

无聊题 http://post.baidu.com/f?kz=80744578
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“0.999999......”取下整之后是0还是1？
想了很久了，谁能告诉我？
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此题无聊至极，都不好意思拿出来了. 如果现在还把这种无聊问题发到数学吧里，吧主绝对会封为“禁题”，杀无赦

三角塔 http://post.baidu.com/f?kz=81665936
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按如图所示的方案把1，2，3，4，5，......写进一个三角塔里，那么从6走到12至少3步，问从1234走到4321至少多少步？
注意：当且仅当两个三角形有公共边才能通过
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真是惭愧啊，东方角落又出丑了，第一次贴图竟然没贴上，被大伙儿嘲笑加鄙视了.
现在只好在这里把图片补上.
贴子相关图片:
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/１\
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/２\３/４\
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/５\６/７\８/９\
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/10\11/12\13/14\15/16\
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百人猜百数 http://post.baidu.com/f?kz=88054506
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有100个囚犯关在牢里，国王打算给他们一个机会，于是给他们一个看似不可能完成的任务：
让100个人每人头上戴一顶帽子，每顶帽子上随机的写上一个数字，数字的范围在0-99之间，囚犯们只能看到别人的帽子上的数字，看不到自己头上的数字.
现在，国王要求他们每人同时写一个数字（无法知道别人写的数字，而且不得用任何方法提供信息给别人）.
如果100个人当中至少有一个写对了自己头上的数字，那么全体获释，否则全体杀头！
在这之前给他们一点时间，让他们讨论一个方案.
请问如果您是其中一个囚犯，您能想出一个100%获释的方案吗？
请说说您的方案是什么？
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当时流行的百囚问题之一，东方角落的同学拿来考东方角落，东方角落做出来之后拿来考考大家

迟钝的回复 http://post.baidu.com/f?kz=90473412
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这个猜数游戏相信大家都玩过：
给定1到n的一个整数，猜这个数是多少，每猜一次就可以知道所猜的数是大了还是小了.
策略很简单，就是二分法，对于1到n的范围，至多猜「log2(n+1)次保证猜对.
现在由于种种原因，无法立刻知道所猜的数是大了还是小了，要猜了下一个数才可以知道上一个数是大了还是小了.
举个例子：猜1到10的一个数
猜数``回答
`5````无
`8```5大了
`3```8大了
`2```3小了
`4```2小了
`4```4对了
共猜了6次
在这种情况下，应采取什么样的策略才可以尽可能减少猜的次数？
在最好的策略下，对于1到n的范围，至多猜多少次保证猜对？
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这题出得很有创意，答案也很漂亮，就是大家熟悉的黄金分割法，底数“2”很神奇地变成了“1.618”