2014初二华杯赛复赛求详解

第4题
abcd+2(a+b+c+d)=2379
∵0＜a+b+c+d＜50
∴2279＜abcd＜2379，a=2
即：bcd+2(b+c+d)=375
∵0＜b+c+d＜30
∴315＜abcd＜375，b=3
即：cd+2(c+d)=69，12c+3d=69，4c+d=23
解得：d=3，c=5，d=7，c=4
∴这样的四位数有两个：2353、2347

第三题，

第五题

第5题
求使x=√（50+√14a）+√（50-√14a）为整数的正整数a。
解：
由x=√（50+√14a）+√（50-√14a）得：
x^2=[√（50+√14a）+√（50-√14a）]^2=100+2√(50^2-14a).
50^2-14a≥0，则a≤2500/14=178.5……
为了使x^2为完全平方数，只须√(50^2-14a)=22或48从而求得a=144或=14。
相应的x=√144=12和x=√196=14。

求使x=√（50+√14a）+√（50-√14a）为整数的正整数a。
x²=[√（50+√14a）+√（50-√14a）]²=100+2√(50²-14a)
令50²-14a=k²，则k为偶数，k＜50，
∵x²=100+2k，且k＜50
∴10≤x≤14，且x为偶数
x=10，k=0，a无整数解；
x=12，k=22，a=144
x=14，k=48，a=14

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