一道函数方程

这个函数方程的解是相当容易看出的；然而，证明它却绝非易事。楼下将给出解答，大家不妨自己动手试一试再看。

第二部分：
我们证明f(x)为奇函数。为避免混淆，用s代替x.
s=0时，显然有f(s)=－f(－s)=0.下设s≠0，则有f(s)≠0.
①f(s)<0时，存在t使得,由f(s)≠0，知t≠0，故f(t)也不为零.令
,将点(t,w)代入，得

②f(s)>0时，存在t使得f(s)=t^2.由第一部分结论知存在实数w使得f(w)=s/t.将点(t,w-t)代入得

于是对于任意实数s,都有f(-s)=-f(s)，第二部分结论证毕。

第三部分：
第二部分的证明过程让我们自然而然的想到证明f(x)为单射。这条路走得通，但是要得到最后结果却较为繁琐。我们采用另一条巧妙一些的思路。
取任意实数u,v,分别将点(u,v)，(v , -u-v)，(-u-v,u)代入得

由第一部分结论，存在实数z使得f(z)=1.将u=z,v=x代入上式，得f(x)=zx.
再将f(x)=zx代回题中方程，易得z=±1.所得结果为f(x)=±x，均符合题意。
所以原方程的解为f(x)=x或f(x)=－x.

做了一遍，前两部分完成了，第三部分没弄出来睡觉

做到第三部分的时候我一直盯着f(xf(x))=x^2了

话说回来，第三部如果一开始导出他是单射的话，然后该怎么做呢？

容易证明f(x)为单射，略去。
将t=1代入(2)式得f(f(1))=1,再将t=f(1)代入(2)式，即得(f(1))^2=1,所以f(1)=±1.下令η=f(1).
取任意实数z,分别将点(1,z)，(-1,z+2)代入题中方程，得

现在，令z=2f(x),结合f(z)+2η=f(z+2)可得

将z=0代入f(z)+2η=f(z+2),得f(2)=2η,
再将点(2,x)代入题中方程，得