【有爱的实验中学】理科数学题求解答

已知：y = f (x) 定义域为〔–1，1〕，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v[–1，1〕，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x2– 1 是否满足题设条件？
(2) 判断函数g(x)=1x,x[1,0]
1x,x[0,1]n – 1 nn– ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1)[n – n( n + a)n n – 1 ]，是否满足题设条件？

最烦数学题

童鞋，你不是我大实验人吧？

解: (1)fn `( x ) = nx n –1 – n ( x + a)n – 1 = n [xn – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0,∴ fn `( x) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减.

（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = x – ( x + a)是关于x的减函数,
∴ 当n a时, 有：(n +1 )n– ( n + 1 + a)n n n– ( n + a)n.
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n +1 ) [xn–( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n+ 1 ) [(n + 1 )n–( n + 1 +a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n+ a)n] =( n + 1 )[ nn – ( n+ a )( n + a)n – 1 ]
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n
∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n+ 1 )fn`(n) .

解： (1) 若u ,v [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 –v2 |=| (u + v )(u – v) |，
取u = 3
4[–1，1]，v = 1
2[–1，1],
5
4则|p (u) – p (v)| = | (u+ v )(u – v) | =
所以p( x)不满足题设条件.
（2）分三种情况讨论： |u – v | > | u – v |，
10. 若u ,v [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) –(1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；
20. 若u ,v [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；

已知点P ( t , y )在函数f (x ) =
(1) 求证：| ac | 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.
(3) (仅理科做)求证：f ( |a | ) + f ( | c | ) > 1.
证：(1) ∵ tR, t –1,
∴ ⊿ = (–ca) – 16c =ca – 16c 0 ，
∵ c 0,∴ca 16 ,∴| ac | 4.
(2)由 f ( x ) = 1 – 1
x122222422xx1(x –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ). ,
1
x211x11x1x2(x21)(x11)法1. 设–1 < x1 <x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1––1 + = .
∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1– x2 < 0,x1 + 1 > 0,x2 +1 > 0 ,
∴f (x2) – f ( x1) < 0 ,即f (x2) < f ( x1) ,∴x 0时，f ( x )单调递增.
法2. 由f ` ( x ) = 1
(x1)2> 0 得x –1,
∴x > –1时，f ( x )单调递增.
（3）（仅理科做）∵f ( x)在x > –1时单调递增，| c |
44|a| > 0 ,
∴f (| c | ) f (4|a|) = |a|
4
|a|
|a|= 4|a|44 1f ( | a | )+ f ( | c | ) = |a|1+ |a|4>|a|
|a|4+4
|a|4=1.
即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.