原题：五个天使和四个魔鬼按随机顺序进入一间教堂，在教堂内如果魔鬼的数量多于天使的数量，则魔鬼就要杀掉天使。
问：天使全部安全进入教堂的几率?
以下是本人的解答：
如图所示，横坐标表教堂里的天使数量，纵坐标表示魔鬼数量，O点表最初状态，即开始教堂里没有天使也没魔鬼，C点表示最终状态，即教堂最终有5个天使和4个魔鬼，从O到C的任意一条最短路径表示他们依此进入教堂的顺序，易知总共有C(9,5)条，线mn表示魔鬼比天使多1人，如果路径在某个时候魔鬼多于天使，则必定会触及线mn，但由于这道题的特殊性，开始进入的是魔鬼也有可能行得通的，那么题目可分2种情况
情况①：先进入的是天使的情况，此情况总数为A到C点的最短路径数减去其中触及到线mn的路径数，A到C点的最短路径数有C(8,4)条，假设某条触及到线mn路径，如上图的红色路径AC,P点为第一个线mn的接触点，作A点关于线mn对称点A'，直线(也可以是折线)AP与A'P，从而所有与线mn有接触的从A到C路径与所有的从A'到C的路径一一对应，因此的到一个关键结论：
所有触及到线mn的从A到C的最短路径数=从A'到C的最短路径数=C(8,6)
故此种情况行得通的情况共有C(8,4)-C(8,6)种
情况②：先进入的是魔鬼的情况，则前3个入教堂的顺序必然是[魔鬼、天使、天使]，就是上图的B点，于是次情况总数为B到C点的最短路径数减去其中触及到线mn的路径数,与情况①解法相同，作B点的镜像B'，行得通的总路径数有C(6,3)-C(6,5)
综合以上2种情况，得到可行的顺序总数为C(8,4)-C(8,6)+C(6,3)-C(6,5)=56种
于是所求概率为56/C(9,5)=56/126=4/9
解毕
问：天使全部安全进入教堂的几率?
以下是本人的解答：
如图所示，横坐标表教堂里的天使数量，纵坐标表示魔鬼数量，O点表最初状态，即开始教堂里没有天使也没魔鬼，C点表示最终状态，即教堂最终有5个天使和4个魔鬼，从O到C的任意一条最短路径表示他们依此进入教堂的顺序，易知总共有C(9,5)条，线mn表示魔鬼比天使多1人，如果路径在某个时候魔鬼多于天使，则必定会触及线mn，但由于这道题的特殊性，开始进入的是魔鬼也有可能行得通的，那么题目可分2种情况
情况①：先进入的是天使的情况，此情况总数为A到C点的最短路径数减去其中触及到线mn的路径数，A到C点的最短路径数有C(8,4)条，假设某条触及到线mn路径，如上图的红色路径AC,P点为第一个线mn的接触点，作A点关于线mn对称点A'，直线(也可以是折线)AP与A'P，从而所有与线mn有接触的从A到C路径与所有的从A'到C的路径一一对应，因此的到一个关键结论：
所有触及到线mn的从A到C的最短路径数=从A'到C的最短路径数=C(8,6)
故此种情况行得通的情况共有C(8,4)-C(8,6)种
情况②：先进入的是魔鬼的情况，则前3个入教堂的顺序必然是[魔鬼、天使、天使]，就是上图的B点，于是次情况总数为B到C点的最短路径数减去其中触及到线mn的路径数,与情况①解法相同，作B点的镜像B'，行得通的总路径数有C(6,3)-C(6,5)
综合以上2种情况，得到可行的顺序总数为C(8,4)-C(8,6)+C(6,3)-C(6,5)=56种
于是所求概率为56/C(9,5)=56/126=4/9
解毕
心之刃
