长度是怎样炼成的？
点没有长度和面积，为什么由点组成的线和面会具有长度和面积？
“长度”“面积”这些词汇究竟是在怎样的意义上被使用的？
有的时候我们把点的长度叫做零，有的时候叫做无穷小，这两个称呼是不是都有道理？
无穷个零相加是不是还得零？（其实和第一个问题是一个意思，无穷个点怎么加成线段
的？）
等等等等。
当然，小乐的问题是着眼于哲学，而我的回答将会着眼于数学，——我不是学哲学的，
但是大概也知道在哲学上这些词汇常常导致混乱的争论，比如芝诺悖论之类。幸运的是
，早在一百年前，通过一大批杰出的数学家的努力，以上这些问题已经被精确地给出了
解答，这就是在数学中被称为“测度论”的一套理论体系。这里“精确”的意思是说，
这套理论体系完全基于形式逻辑，而且只采用了非常少的公理（下面会陈述之），从而
，在这套理论中不存在任何模糊或者逻辑上模棱两可之处（除了几个需要加以特别说明
的地方=_=！）。换句话说，我们不仅可以认为数学家能够确定无疑的回答以上这些问题
，而且可以认为人类在今天能够确定无疑的回答以上这些问题（在承认那些公理的前提
下）。
不幸的是，这一断言几乎必然会遭到哲学家的反对。一方面是因为哲学家们倾向于每个
人自己创造一组定义，——从我在未名哲学版见过的一系列关于芝诺悖论的讨论来看，
这样的结果是所有的论述最终都流于自说自话。另一方面大概也因为学术壁垒的缘故，
哲学家们大概从来也没有了解过数学家们已经在此问题上做出过的卓越工作，（确实，
很多细节是过于数学化了一点……）。有鉴于此，我答应小乐以尽可能通俗的方式（在
不损害准确性的前提下）大致介绍一下测度论的内容。我想在这个版面上大概还会有不
少别的朋友对此感兴趣吧。
下面正式开始。
一、关于无穷
当我们使用“无穷”这个词的时候，我们必须时刻谨记，这个词有两种截然不同的意义
——不，我这里说的不是亚里士多德关于实无穷和潜无穷的那些绕口令，而是某些重要
得多的本质问题，对他们的清晰阐释开始于伟大的德国数学家康托Georg Cantor (1845
-1918)：当我们说一个集合有无穷多个元素的时候，我们必须指明这里的无穷是哪一种
，是“可数无穷”还是“不可数无穷”。虽然都是无穷集合，但是它们会体现出截然不
同的性质。
为了说明这一问题，我们引进集合的“势（cardinality）”的概念。简单说来，势就是
集合的元素的个数。一个集合有三个元素，我们就称其势为3。两个集合如果元素个数相
等，我们就称它们为等势的。——很显然，要判断两个集合是不是等势，只需要看这两
个集合之间能不能建立起元素的一一对应即可，如果可以的话，我们就说这两个集合的
元素是一样多的。
到这里为止都显得很简单。可是最有趣的部分马上就要出现了：康托指出，不但对于有
限个元素的集合我们可以讨论它们的势，对于无穷个元素的集合，我们同样可以讨论它
们之间是否等势。换句话说，我们可以讨论两个无穷集合的元素是不是一样多！
之所以如此，是因为集合之间的“一一对应”本质上只是个数学概念，是可以被精确研
究的对象（请回忆高中数学课本关于映射的那一章）。从而，随便拿两个集合来，它们
之间是否能建立一一对应只是数学上的问题而已。
以下是一些最基本也是最著名的例子和命题，请尽量耐心的阅读。所有这些陈述都是可
以基于最简单的形式逻辑给出严格证明的，证明可以在参考文献[1]上查到：
·每一个集合都和它自身等势。
注：废话。
·全体正整数的集合和全体正偶数的集合等势。
注：这是第一个有趣然而迷惑人的结果。我们等于是在说：一个集合可以和它的一部分
一样多！——但是这并不是一个悖论。我们通常觉得一个集合不能和它的一部分一样多
只是针对有限集合而言的，本来就没人说过无限集合不能和它的一部分一样多，只是有
时候大家会不自觉地有这个误解而已。
·全体正整数的集合和全体有理数的集合等势。（什么是有理数来着？查书去！）
注：这是在数学上很重要的一个例子，说明一个实数中的稠密集可以和一个离散集等势
，不过大家看到这里大概已经开始打瞌睡了……跳过这个例子！
·全体正整数的集合和全体实数的集合不等势。
注：睁大眼睛，迄今为止最重要的一句话出现了！你永远不可能在全体正整数的集合和
全体实数的集合之间建立起一一对应来。对这个陈述的证明是数学上最有趣也最迷人的
证明之一，可惜的是篇幅所限我不能在这里证明给大家看。那么只讨论结论好了：并不
是所有的无穷集合都是等势的，有一些无穷集合比另一些无穷集合的元素更多，换句话
说，无穷之间也是有大小的。
·任给一个无穷集合，我们都能够造出一个集合包含它，而且和它不等势。
注：换句话说，无穷和无穷相比，没有最大，只有更大。——但是请注意，虽然我们能
够造出越来越大的无穷集合，但是我们并不真正对那些太大的无穷感兴趣，因为和这个
世界没什么关系。
·如果两个集合都和第三个集合等势，那么它们彼此也等势。
注：好像也是废话，但是它引出了下面的重要陈述。
·有很多集合都和全体正整数的集合等势，从而它们彼此也等势，我们称所有这样的集
合为“可数无穷的（countably infinite）”。有很多无穷集合比全体正整数的集合的
势更大，我们称所有这样的集合为不可数无穷的（uncountably infinite）。但是，不
存在无穷集合的势比全体正整数的集合的势更小。
注：我们待会儿再来讨论为什么起这么两个名字。前面的例子告诉我们，全体正偶数的
集合是可数无穷的，全体有理数的集合是可数无穷的，但是全体实数的集合是不可数无
穷的。
·在不可数无穷集合中间，有些集合是和全体实数的集合等势的，这些集合被称为“连
续统（continuum）”
注：好了，现在我们对全体无穷集合建立了一个简单的分类。最小的一类称为可数无穷
集。剩下的都叫不可数无穷集。不可数无穷集里面又有特殊的一类叫作连续统，剩下当
然还有一些非连续统的不可数无穷集，但是它们几乎和真实世界没有任何关系，所以忽
略之。（有人不愿意忽略它们，非要去研究里面的一些麻烦的问题，于是产生了数学中
间最让人头晕的一部分结论，比如什么哥德尔不完全性定理之类……这个定理偏偏还特
别著名，很多人都问过我它究竟说的是啥。相信我，你不可能弄明白的。）
也就是说，我们真正关心的是两类特殊的无穷集合，一类称为可数无穷集，一类称为连
续统。所有的可数无穷集彼此等势，所有的连续统彼此等势，但是任何可数无穷集和连
续统之间不等势，后者总是更大一些……真绕嘴阿。

下面是一些可数无穷集和连续统的例子：
可数无穷集：
自然数集，整数集，有理数集。（基本上，如果你在平面上或者直线上随手点无穷个点
，并且这些点彼此都不挨着，那么它们的总数就是可数无穷的。但是也存在一些不这么
简单的可数无穷集。）
连续统：
实数集，直线上点的个数，平面上点的个数，一个正方形里点的个数，或者简而言之，
一切几何对象里的点的个数都是连续统。（这里一个常常被人提到的推论就是直线上的
点和平面上的点一样多，——都是连续统那么多。其实证明很简单，但是一言难尽，请
查书去。）
好了，现在我们可以讨论这两个名字是怎么来的了。请注意，所有的可数无穷集都是可
以和正整数建立起一一对应的，这是什么意思呢？这意味着，我们可以把一个可数无穷
集中的每个元素都对应到一个正整数，这相当于给他们编了号码，从而我们可以去数它
们（这就是可数这个词的来历）。也就是说，我们可以按照1号、2号、3号这么一直数下
去，虽然总数是无穷的，但是只要我们在理论上一直数完所有的自然数，我们就能真正
数遍这个集合的所有元素（至少在想像里是这样）。
而连续统集合却不是这样。一个直线上的点是连续统，这就是说，无论怎么巧妙的给这
些点编号，我们都是不可能给所有的点都编上号码然后一个一个的数下去把它们都数完
的。它们是“不可数”的。
有人会说，这不是自欺欺人么？反正都是无穷个，反正事实上总也不可能数得完，那么
在理论上区分“想像中数得完”和“想像中也数不完”有什么实际意义呢？
有的。正是这一点微妙的差别，使得有些事情我们能够对可数集去做却不能对连续统集
合去做，也正是这一点差别，促成了从没有大小的点到有大小的直线和平面之间的巨大
的飞跃。
二、测度的建立
让我们暂时放下关于无穷的那些讨论，回到主题：我们通常所说的长度面积体积这些词
，究竟是什么意思？
为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我
们只考虑“长度” 这个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个“长度” 存在
。如果能做到这一点，那么类似的，面积和体积之类的高维词汇也可以类似的得以理解
。
我们把目前要回答的问题列在下面：
·什么是长度？
·是不是直线上任何一部分都可以有长度？直线上的一个线段当然应该有长度，直线上
的两段分离的线段也有总长度，单点有没有长度呢？随便从直线上挖出一些点来得到的
也许是虚虚实实的一个“虚线段”有没有长度？是不是我们从直线上任意取出一个子集
合(线段啦单点啦都可以看成是直线的特殊的子集合)，都可以定义它的长度？
——这件事无论在数学上还是应用上都是重要的，如果能够给直线的任何子集定义长度
，那就太方便了。
·如果上面这件事是可以的话，那么随便给一个直线上的点集，长度怎么计算？
等等等等。
事实上，在数学中这些问题都能够得到解答，但是首先让我们把上面问题里的“长度”
这个词都换成更准确的一个术语：测度(measure)。之所以要采用这么一个新造的词，
首先是因为“长度”有时候有局限性。一个线段的长度好理解，一个复杂的点集，说长
度就会显得很奇怪；不仅如此，在二维情形下我们还要研究面积，三维还要研究体积，
四维还要研究不知道什么积……为了省去发明一个又一个新词的苦恼，我们把这些东西
统一叫做二维测度，三维测度……一了百了。
好吧，那么，我们来定义(一维)测度。
——不，不要误会，我并不是要在此刻写出一大段难懂的话，告诉大家“测度就是什么
什么什么什么。” 或者更谦逊一点，说“我认为，测度就是什么什么什么什么。” —
—也许这是一般人看来自然不过的工作方式，但不是数学家的。
这是因为，我们现在要定义的是某种特别基础的概念。也许在定义某些很复杂的高层概
念的时候这种方式很自然，可是概念越基础，这种方式带来的问题就越大。关于测度这
种层次的概念几乎必然伴随着用语言难于精确描述的种种晦涩的思考，一旦一个人试图
把他对这个词的理解宣诸笔墨，那么无论他多么小心翼翼的整理他的陈述，在别人看起
来他的定义都必然漏洞百出，有无数可以商榷的地方。——而因为这个概念在整个逻辑
体系中的位置过于基础，任何商榷又都必然说起来云山雾罩，像哲学家们通常进行的关
于基础概念的争论一样令人头昏脑胀。如果数学家们要开会用这种方法给出测度的定义
，那一百个数学家一定会提出一百零一种定义来，最终的结果是什么有效的结论也得不
到。

从有限到无限这一步跨越其实走得颇为艰难。哲学家也好别的领域的科学家也好常常随
心所欲的使用数学词汇而并不特别在意自己是否真的明了它们的严格意义，可是数学家
却不能如此自由。真正把无穷个数加起来，也就是数学中所谓的“级数”（series），
这套理论的严密化在数学史上经历了相当长的一段时间。最终，借助于极限理论的帮助
，真正严格的关于级数求和的理论才得以建立。——也就是说，事实上，什么样的无穷
级数可以相加，什么时候不能相加，相加的时候要注意什么问题，这一切都受到了理论
的约束。在这些理论的基础上，我们才能够确定当我们随口说出“把这无穷个数加在一
起”的时候，我们确实知道我们在说什么。
什么是级数呢？级数就是把有限个自然数相加的自然推广：既然定义了n个数的和我们就
能够进而定义n+1个数的和，那么，把这个过程递归地进行下去，我们就能够对任意有限
多个数求和。当有无穷个数需要我们求和的时候，我们就只对它们中的前N个求和，并且
让这个N不断变大，如果这一过程有极限，这个极限就被我们称为这个无穷数的和。
请注意上面这段话背后的涵义：当我们说“对无穷个数求和”的时候，我们其实潜在地
要求了这些数的总个数必须能够通过n->n+1->n+2……这样的过程来逼近，然后通过极限
的方式定义它们的和。这也就是说，这些数的总个数必须是可数个！
让我们回忆一下什么是“可数个”：“可数个”就是能够和自然数集建立起一一对应的
那么多个，用更直观的语言来说，“可数个”就是“可以一个一个数下去”的那么多个
。只有一个集合里包含可数个元素的时候，我们才能够对于它应用数学归纳法，因为数
学归纳法的本质就是“一个一个数下去”：当一件事对n成立时，我们进而要求它对n+1
成立，这样的过程进行下去的极限，就是可数无穷。
那么，既然多个数的加法本质上是个递归过程，——只有先把n个数加起来，我们才能进
而加上第n+1个数，——所以加法至多能对“可数无穷”个数来定义（也就是级数加法）
。把“不可数无穷个”数加在一起，这件事情是毫无意义的！
这正是前面所有那些所谓哲学悖论的根源：当人们想当然的说着“把无穷个点的测度加
在一起”的时候，他们以为他们是在说一件自然而然的事情，可是事实上，除非这无穷
个点是可数个，否则这里的加法根本无法进行。不幸的是，任何线段都偏偏是由不可数
个点构成的（它们是连续统）。
为什么线段是由点构成的，而线段的测度却不等于组成它的那些点的测度之和？因为“
组成它的那些点的测度之和”这个短语根本没有意义，所以两者也不必相等。
这个回答也许有些出人意料，可是事情就是如此。很多问题之所以令人迷惑，不是因为
它们真的是什么悖论，而只是因为问题本身没有被恰当的叙述。人们常常自以为是的使
用很多词汇却罔顾自己是不是了解它们的真实含义，譬如说“求和”。人们随心所欲地
说“把若干个数加在一起”却忘了其实不可能真的把它们“一下子”加在一起，加法是
个递归过程，这就决定了如果要加的东西的个数太多（不可数那么多），它们就加不起
来了。
（不得不补充一点——一个很扫兴的补充——在数学中，某些场合下我们真的必须要对
不可数个数定义总和……数学家总是这样，为了各种极端情况而拓展自己的定义。在这
些情况下，这种不可数个数的和也是能定义出来的。但是，这件事并不会对上面那些论
述造成削弱：这里的特殊意义上的“和”是为了应付特别的目的而定义的，它和我们平
时所说的求和已经不是一个意思了。）
也许哲学家还会追问：既然线段的测度不是组成它的那些点的测度之和，那么这个测度
是从哪里来的呢？
它们不是哪里来的……它们是线段自己所固有的。这就是为什么我们在定义长度的时候
非要加上第三条公理的原因：我们必须在定义里就写明线段的测度，否则就没有办法建
立起直线的所有可测子集的测度的架构。事实上，既然点的长度是零，根据可数可加性
我们很容易推出一切可数集的长度也都是零，所以在某种意义上说来，“长度” 是本质
上只属于连续统的一种性质。换句话说，只有进入了连续统的范畴，不为零的长度才可
能出现。这就是为什么我们不能从单点集出发定义长度的原因。
那么，我们现在可以回答那个著名的“飞矢不动”的悖论了：一支飞驰的箭，在每一个
确定的时刻都静止在一个确定的位置上，为什么经过一段时间后会移动一段距离？
答案是：因为任何一段时间（不管多么短暂）都是一个连续统，包含了不可数个时刻，
所以箭在每一时刻的静止根本不需要对一整段时间之内的移动负责。——后者并不是前
者的相加，而前者也根本不可能相加。
因为连续统不可数，所以我们能够在每时每刻里都静止的存在，同时又能在一段时间内
自由运动。这也许是大自然的巧妙安排吧。

2. 无穷大。
有趣的是，和无穷小如此相似的一个词——无穷大——却在今天的数学语言中占有与之
判若云泥的一个地位：人们谈论它，研究它，还给它以专门的记号（倒8字）。造成这一
多少有点奇特的事实的关键在于，和通常人们的误解不同，无穷大其实并不是无穷小这
个词在概念上的对偶（尽管乍一看似乎如此）。事实上，就某种意义而言，说它是零这
个词的对偶也许更为恰当一些。
让我们回顾一下这个概念在数学中的递进过程：我们都知道存在这样的数列（例如自然
数列），可以一直变得越来越大，直到比任何给定的数都更大，这种时候，我们把这样
的数列称为“趋于无穷大”或者直接就简称它是无穷大。——请注意，在这里无穷大仅
仅是作为人们对一个数列或者变量的极限的叫法而存在的，我们并没有承认它是一个数
或者一个确定的对象，而只是一个形容词而已。每个具体的数都不可能真的比别的数都
大，尽管一系列数可以没有止境地变得越来越大，这实质上就是亚里士多德所强调的“
潜无穷”。
如果事情只是到此为止，那一切相安无事，无穷大这个词今天的地位也只不过和无穷小
一样仅仅作为对一种极限的描述而存在罢了。可是这里有某种微妙的差别：正如前面提
到过的那样，“无穷小”不是别的，只是一个变量极限为零而已，所以我们总可以认为
无穷小只是一种说法，在必要的时候可以用“趋于零”这样一个替代说法来换掉它。可
是“无穷大”是什么极限呢？它并不是趋于任何特定数字的极限，而是“趋于无穷大的
极限”，你看，这个词轻易回避不掉。
于是人们只好被迫不断的提及它，要是非要替换成别的说法，就要花好多倍唇舌才成。
比如，前面说过直线本身也是直线的可测子集，那么整条直线的测度是多少？当然我们
可以佶屈赘牙地说“直线可测，但是它的测度并不是一个确定的数，而只是比任何给定
的实数都要大。”——这也太麻烦了一点。为什么不省点事直接说“直线的测度等于无
穷大”呢？
这样人们就开始不断的把无穷大当一个名词来使用，假装它好像也是一个数一样，这就
是所谓的“实无穷”。哲学家和数学家中比较喜欢哲学争辩的那一部分人对此有许多争
论（直觉主义学派等等），但是让我们忽略掉它们，先看看在今天数学家是怎么使用这
个词的吧。
首先，无穷大不是一个实数，在实数集中不存在任何数比其他所有数更大，这是确定无
疑的事情。
其次，在许多场合下，我们确实可以把无穷大当作一个名词来使用，既方便又不造成困
扰。例如前面提及的在测度论里我们说一个可测集的测度是一个“数”，这里的“数”
既包括非负实数也包括无穷大。事实上，在有些数学书里索性把实数加上无穷大这样一
个集合称为“增广实数集”。我们甚至可以对无穷大定义运算（在事先做好严格约定的
前提下），这对于很多理论的叙述带来了极大的方便。如果说得更技术化一点，在很多
数学分支（例如仿射几何）里我们还能像让每个实数对应于直线上的一个点这样一个几
何对象一样，让无穷大这样一个特殊的对象也对应于一个特殊的几何对象（所谓的“无
穷远点”），并且让所有这些几何对象平等地参与到几何学中来。只要仔细做好事先的
公理准备，这样子做并不会引起任何逻辑问题。
——也许有人会觉得奇怪，怎么数学家可以如此随便，想给实数集添上什么就添上什么
？事实上，数学家就是有这样的权利，因为说到底，数学不是研究真实自然界的学问，
而只是研究人造概念的学问。任何人造概念，只要在逻辑上被严格的描述出来又不造成
内在的逻辑不自洽，都可以被认为是“存在”的。复数的引进就是一个很好的例子。
——那前面怎么又说“无穷小不存在”？就算无穷小本身不能是一个实数，为什么不能
把它添在实数集之外也弄一个“增广实数集”出来研究？
事实上，这样做是可以的，而且事实上也确实有好事者这样做过。问题在于它毫无意义
。前面说了，任何人都有权利自己定义出一些什么东西来作为数学对象来研究，这是对
的，只要他在逻辑上足够细心就行。可是这句话还有一个常常被人忽视的反面：数学尽
管不是直接研究自然界的学问，可是它毕竟是在人们研究自然界的过程中形成而又有助
于人们对自然界的理解的。如果一个数学概念纯粹只是自说自话的产物，那无论它多么
自洽，也没有人会去关心它。复数这一人为的构造之所以被所有人承认是因为它巨大的
威力。而无穷小——正如前面所指出的——是一个毫无必要引入的概念，添上它只会自
找麻烦。无穷小和无穷大的命运之所以不同，关键正在于此。
回到无穷大这个词上来。这一系列文章的一开头还说过无穷大可以分成“可数”和“不
可数”的无穷大，那又是怎么回事？
这是一个更常见的误解，这其实是两个不同的词：作为一个极限的（潜）无穷和由此引
申而来的作为一个数学对象的（实）无穷是一码事，作为一个集合的势的可数无穷或者
不可数无穷是另一码事，不同于前者的“无穷大”，后者其实应该被称为“无穷多”才
对，只是人们通常混为一谈。事实上，当我们说“一个集合有无穷多个元素”的时候，
我们有必要指出这个集合是不是可数，而当我们说“一条直线的测度是无穷大”的时候
，却完全谈不上什么可数不可数。——在数学书中通过观察上下文，分辨这两者并不是
很难的事情，可是如果把“无穷”作为一个哲学命题来研究的时候，这种区分却是必须
的。——不幸的是，就我阅读所及，很多时候人们都没做到这一点。

3. 不可测集与选择公理、数学的严密性
回顾一下“不可测集”这个词的意思：在勒贝格测度的意义下，总有一些集合是没办法
定义测度的，这样的集合称为不可测集。同时已经被我们反复指出过的一点是：一个没
受过专门数学训练的人所能想象到的任何古怪集合其实都是可测的，不可测集非常罕见
。
不可测集的存在是数学中中一件令人遗憾的事实，要是能给直线的任何一个子集定义长
度，这样的理论该有多么漂亮啊……数学中常常有这样的情形，一个人们通过直觉认定
的美妙设想，偏偏被一两个好事者精心构造出的反例破坏了，但是数学毕竟受制于逻辑
，不管一个反例多么煞风景，只要它确实成立，数学家也只好接受它。
可是不可测集这个例子有点不同：构造不可测集，用到了选择公理。
这件事情说来话长，简单的说，我们都知道整个数学是建立在一些很显然也很直观的公
理之上的，这些公理大多数都是诸如等量之和为等量之类的废话，可是选择公理稍微复
杂一点，它是说：
任何给定一组非空集合，我们总能从其中的每一个集合里取出一个元素组成一个集合。
也像废话一样，是吧，可是这句话多少有点罗嗦，不像等量之和为等量一样简单明了。
于是人们对它多少有所争议，有人认为它不应当排在基本公理之内。可是毕竟这句话也
挑不出什么错，而且人们很快发现，很多很有用的数学结果离开选择公理就变得很难证
明或者根本不可能证明，于是将就着也就承认它了。
可是不可测集的存在却又掀起了人们的疑虑，反对选择公理的人说，看看吧，要是没有
选择公理，也就没有不可测集了。
赞成的人反驳说，不可测就不可测呗，有什么大不了的……虽然整个理论确实变得不那
么完美了。——他们不知道更大的问题还在后面。1924年，波兰数学家巴拿赫（Banach
）在选择公理和不可测集构造法的基础上，证明了石破天惊的“分球定理”：一个半径
为1的实心球，可以剖分成有限的若干块，用这些块可以完整地重新拼出两个半径为1的
实心球体！
这一下引起轩然大波，反对选择公理的数学家们声势大振，认为选择公理完全是troubl
e maker，必欲除之而后快。赞成选择公理的数学家们则指出选择公理“功大于过”，毕
竟有很多有价值的数学成果出自选择公理的基础。双方僵持的结果是大家各行其是，大
多数数学家承认选择公理，同时忍受巴拿赫分球定理所带来的不适感，少数数学家坚持
不要选择公理，为此失去很多别的很有用的定理也在所不惜。
这一僵持局面维持了很多年，直到二十世纪的中叶才被戏剧性地解决。人们在不承认选
择公理的假设下构造出了一大堆比巴拿赫的球体更严重的反例（例如一个空间同时有两
个维数）。这些反例不只像巴拿赫的例子一样违反直觉，而且还严重的破坏了大多数已
有的数学结果。于是人们发现，承认选择公理也许是必须的，而像巴拿赫的反例那样的
反直觉的结果，也只能被迫承担下来了。
所以到今天几乎所有的数学研究都是在承认选择公理的基础上进行的。虽然作为一种后
遗症，人们总是会时不时地谨慎的在使用选择公理的时候加上一句声明：“本文依赖选
择公理。”——这也许是这条公理的一个特殊待遇了。
以上便是这段公案的来龙去脉。很多人可能在读完这段故事之后疑虑重重。什么啊？数
学家们难道是这么随便的确定公理体系的么？如此的实用主义，似乎全然置真理的地位
于不顾的样子。很多人可能还会想起欧几里德第五公设的故事，觉得数学家们原来如此
不负责任，带给人们的不是一套严整规范的理论体系，而是一个支离破碎的混乱图景。
连公理的问题都搞不定，整个数学岂不是空中楼阁？
限于篇幅，这篇文章不可能对这个问题予以展开论述，可是至少我们可以澄清一个常见
的似是而非的误解：数学是严密性的科学，数学的发展也只有在严密的公理化基础上才
能得以实现。
这句话——至少在字面上——是对的。不可测集的例子本身就说明，为了严密性，数学
家们甚至不惜放弃直观，——像巴拿赫球那样的例子尽管如此怪诞，可是它是严密逻辑
的产物，数学家也只好承认它的存在。
可是在更宏观的层面上，这句话却是错的。前面提到的分析学就是很好的例子：微积分
的思想的提出是在十七世纪，在随后的十八世纪里取得了丰硕的成果，可是它的严密化
却直到十九世纪下半叶才真正得以实现。测度论是另一个例子：“测度”是人们对于长
度这个词的直观理解的严密化，可是这并不是说，在测度论被提出之前的漫长岁月里人
们对于长度都一无所知，恰恰相反，人们已经知道了相当多的事情，只是等待测度论的
语言让一切都变得精确和完整而已。
所以数学的发展实质上是一个拖泥带水的过程，一代又一代崭新、充满活力却又粗糙的
思想被提出来，人们意识到它的重要性，予以发扬光大，产生一系列重要的成果同时又
带来困惑，直到崭新的数学语言诞生，清理战场，让一切显得井井有条，像教科书上的
文字一样道貌岸然，而同时却又有新的粗糙的思想诞生了……在这个过程里，严密性始
终只是一个背景，尽管无处不在，可是并不占据舞台的统治地位。数学家们在意严密性
，追逐严密性，甚至不惜为了严密性而牺牲看似有价值的学术成果，可是严密性并不是
数学发展的引领旗帜，从来都不是。
这就是为什么同很多人的误解相反，大多数数学家其实并不关心那些关于数学基础的哲
学性的争论，这也就是为什么我把眼前这些讨论放进附记的原因——一件事情是不是关
系到数学的逻辑基础和这件事情在数学上是不是重要一点关系都没有。所有这些故事：
可数与不可数、可测与不可测、选择公理等等，都是和二十世纪初所谓“第三次数学危
机”的大背景联系在一起的，那段时间里数学家之间产生了无数纷争，可是今天的数学
学生们在严肃认真地学习集合论和测度论的同时，却只对那些八卦付之一笑，作为茶余
饭后的谈资。——事实上，即使在二十世纪初，也有大量的数学家根本不关注这件事情
或者压根就采取了日后看来是错误的立场（反对康托，反对不可数集的概念，等等）却
同时又在自己的领域里作出了重要的甚至是历史性的贡献。
关于那个所谓的“第三次数学危机”，有一本著名的科普著作《数学：确定性的丧失》
[2]专门讨论了它。这本书内容相当详尽，不幸的是它所引起的误解和它阐明的事情一样
多。关于这次“危机”的描述主要集中在第十二章，那一章的结尾倒是相当深刻，值得
特别引用在此：
“一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽
的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散
了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正
是蛛网支撑着整个城堡。”