地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31，如果每次从其中的三【奥数吧】

地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31，如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?
求指教 !!!!!
谢谢 !!!!!

地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31，如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?
一、代数解法
设起始石子数为1、9、15、31的四堆石子分别放入x、y、s、t次后均为14个石子。则有：
1+3x-(y+s+t)=14 （1）
9+3y-(x+s+t)=14 （2）
15+3s-(x+y+t)=14 （3）
31+3t-(x+y+s)=14 （4）
四式相加可得：56=56，因此，该方程组有无数组解。只许看方程组是否存在整数解。
（1）-（3）可得：4(x-s)=14，14不能被4整除，方程显然不存在整数解。
∴不可能经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同

地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31，如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?
二、非代数解法
每一次操作，各堆石子数有一堆+3，有三堆-1，
∴任两堆石子数之差在操作前后除以4的余数不变。
如果最后四堆石子数相同，则起始四堆之间石子数之差除以4的余数为0
但是起始四堆石子数为1、9、15、31，(15-1)不是4的倍数
∴不可能经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同

能的话，对于小学生来说有点麻烦
不能的话，有时候可以通过数的整除或者余数特征或者奇偶性等等来判断。
这种题一般我不建议出太难的给孩子做。适当灵活即可。如果找起来特别麻烦的话，还是不要给小学生做，初中或者高中的倒是可以玩玩。

下面看看对1、9、17、33的操作过程。
第一次：由（33-1）/4=8,(最大的减最小的），可以从9、17、33中各取8个放到1里，得到：25、1、9、25.（使有2堆相等）；
第二次：由（25-1）/4=6,(也是最大的减最小的），可以从25、9、25中各取6个放到1里，得到：19、19、3、19.（使有3堆相等）；
第三次：显然，从三个19中各取4个(（19-3）/4=4)放到3里，就完成了15、15、15、15.

以上解答中的括号里的说明，是我找到的操作方法的基本规则。
但如果多试几道，也容易发现，有时“无法操作”，这主要指有时“不够”。这又需要我们去思考、去寻找处理方法。
详细情况，明天再说。

下面说说我的操作方法的大概想法。
一基本思路：
先变成“两等”，即：通过操作，使4堆中有2 堆相等；
再变成“三等”，即：通过操作，使4堆中有3 堆相等；
最后就很容易“四等”，即：最后4堆相等。

简析如下，以1、9、17、33为例说明上述思路的来历。
已经知道，最后应该是15、15、15、15.它的上一步，必须是“三等”的。具体地说，是以下4种可能：
3、19、19、19；或6、18、18、18；或9、17、17、17；或12、16、16、16。
为了达到这其中一个 “三等”，再上一步就应该是“两等”。
比如：上步是1、9、25、25，下一步可以从9、25、25中各取6，放到1中，就出来“三等”：19、3、19、19。

本层要说的是基本思路。至于为什么从9、25、25中各取6，放到1中，就可以了，这个6是怎么得到的，这是另外一个要探讨的问题。9楼中已做，后面再细说。
二具体操作（待续）

下面仍以1、9、17、33为例来说明具体操作方法的思考及具体过程。
二具体操作
第一次，要将1、9、17、33变成“两等”。
我的目标是让1和33变相等。可以从9、17、33各取x，放到1里去。我们有方程：
1+3x=33-x。所以有x=（33-1）÷4=8.算出了8，就可以具体操作如下：
1+3×8、9-8、17-8、33-8，即25、1、9、25；
第二次，要将25、1、9、25变成“三等”，
我的目标是让25、9、25变相等，类似第一次的方法，从这三个里边取出的个数为：
（25-1）÷4=6,算出了6，就可以具体操作如下：
25-6、1+3×6、9-6、25-6，即19、19、3、19；
第三次，要将19、19、3、19变成“四等”，（19-3）÷4=4，即从三个19里各取4个，共12个放到3里，四个就都是15了。

多谢诸位老师指教 !!

@爱bohao
我对你在20楼的证明先说两点：
一我仔细看后，看懂了，觉得你是“完成了充分性的证明”。这个证明，虽然初看好像很复杂，但读懂后会觉得思路很清晰、步骤很细致，有点“妙”的感觉；
二这是一种“操作性”的证明方法，我想也就可以作为一种解题时的实际操作方法，虽然不是最佳方法。

地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31，如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?
一、代数解法
设起始石子数为1、9、15、31的四堆石子分别放入x、y、s、t次后均为14个石子。则有：
1+3x-(y+s+t)=14 （1）
9+3y-(x+s+t)=14 （2）
15+3s-(x+y+t)=14 （3）
31+3t-(x+y+s)=14 （4）
四式相加可得：56=56，因此，该方程组有无数组解。只许看方程组是否存在整数解。
（1）-（3）可得：4(x-s)=14，14不能被4整除，方程显然不存在整数解。
∴不可能经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同

日	一	二	三	四	五	六

地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31，如果每次从其中的三

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