在1900年8月巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

第1到第3问题（1）康托的连续统基数问题。1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。（2）算术公理系统的无矛盾性。欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。

第4到第6问题（4）两点间以直线为距离最短线问题。此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

第7到第9问题（7）某些数的超越性的证明。需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。（9）一般互反律在任意数域中的证明。1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

第10到第12问题（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。（11）一般代数数域内的二次型论。德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。（12）类域的构成问题。即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

第16到第18问题（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且(!,3)分布，但证明有误，至今二次系统的问题尚未解决。（17）半正定形式的平方和表示。实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。（18）用全等多面体构造空间。德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。

第19到第21问题（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。（20）研究一般边值问题。此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。

第22到第23问题（22）用自守函数将解析函数单值化。此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。（23）发展变分学方法的研究。这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

好的 发完 竟然有人插楼...

开始介绍第一个问题集合的势集合的势是用来度量集合规模大小的属性的。对于有限集合，可用集合的元素个数来进行度量，对于无限集合这个办法就行不通了，为此我们需要采用一种新的方法来比较两个集合规模的大小，这种方法应该对有限集合和无限集合都适用。定义 如果存在着从集合A到集合B的双射，那么称集合A与集合B等势，记为A~B。　例 集合N={0,1,2…}，N 2={0,2,4，...}定义映射：f：N→N2 ，f（n）=2n，f是从N到 N2的双射，从而N和N2 是等势的。

可数集
可数集是每个元素能与N建立一个一一对应的集合

整数集的基数是和自然数集一样的
下面证明
将整数如此排列 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6......
使之与自然数集建立一一对应 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12.......
显然这是成立的
证毕

与整数数集相似 我们同样可以证明有理数集是可数的
如此排列0，1/1，-1/1，2/1，-2/1，1/2，-1/2，3/1，-3/1，3/2，-3/2，1/3，-1/3，2/3，-2/3，4/1，-4/1，4/3，-4/3，1/4，-1/4，3/4，-3/4，5/1，-5/1，……
具体说明过程请读者自行完善

今天就更到这里 累了 睡觉去 够十五字了吗？