“不完备性定理” 和 “不确定性原理” 二者有没有内在关系？

　　不过，这个困难难不倒聪明的数学家们。通过对集合定义加以限制、通过定义新的原则，天才数学家很快排除了这个悖论，而且用新的公理化集合系统轻而易举弥补了原有逻辑缺陷。
　　口水话来阐释，大概是这样的：
　　1、我们日常生活中，面临的种种问题有点类似于做应用题，而平时解答的这些应用题其实都可以通过数理逻辑形式进行标准化，转换成为数理逻辑的范式模板，再通过范式的标准化运算，轻而易举，就可以自动运算来解答普通问题了。
　　2、偶尔，也会碰到上面提到的“理发师悖论”这样的疑难问题。当“理发师悖论”问题转换成范式后，无法推演判断命题的真伪。碰到类似疑难杂症，普通逻辑推演的结果既不能判断为真，也不能判断为徦。
　　【“理发师悖论”数学化是这样的：把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为其元素，假设令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，则有：P={A∣A∈A} ，Q={A∣A?A} 。问题：Q∈P 还是 Q?P？ 若Q∈P，则根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，而Q中的任何集合都有A?A的性质，因为Q∈Q，所以Q?Q，引出矛盾。若Q?P，根据第二类集合的定义，A?A，而P中的任何集合都有A∈A的性质，所以Q∈P，还是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”】
　　3、当碰到上面悖论问题，原有的数理逻辑体系无能为力时，其实我们可以把这个悖论问题重新定义。可以把别样的问题，单独作为一条补充公理。这样，原有的n维公理体系变成了n＋1维。即可解决那些尖刻的麻烦问题了。
　　在这样的方法下，能够解决的问题越来越多，数学的基础前所未有的稳固，数学的威力前所未有的爆发，扩展的领域前所未有的广阔。
　　于是，希尔伯特等前所未有的伟人就雄心勃勃地考虑，如果我们把每一个这样的麻烦命题都重新定义，作为一个单独公理。当咱们把公理体系扩展到n+1维、n+2维、n+3维。。。那么我们就可以建立一个包容万象无所不能的放之四海而皆准的公理体系了。
　　建立了丰功伟绩的数学界一派乐观情绪，普遍认为，凡能用数学语言明确提出的问题，都必须而且能够用数理逻辑严格地加以证明或证伪，没有数学解决不了的问题，万能的数学时代即将来临。
　　所以，伟大的雄心勃勃的数学泰斗希尔伯特1930年发表《数学的基础》一文，提出数学史上闻名于世的“希尔伯特纲领”。其要点有二，一是证明形式化建立公理系统使用形式符号语言之后一切数学系统内的定理都是可证的；二是证明形式化之后数学系统是完备的，即一切数学真理都将是这个形式系统的定理。
　　前无古人、后无来者，大师看到了辉煌的人类巅峰的光环，估计做梦也会笑醒吧。
　　希尔伯特是有这个资格的，相对论和量子力学都建立在希尔伯特空间之上，他是当之无愧的的科学界大盟主。
　　但是，有一天，一个叫哥德尔的小混混，仅仅用了一招，就击败了武林大盟主希尔伯特。
　　这宣判了希尔伯特纲领的彻底破产，哥德尔一个小小的证明使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。
　　古今中外多少平凡的人和伟大的人都赞不绝口地歌颂着数学的完美、严谨与和谐。但是，哥德尔深刻直接揭露了数学不完备性的短板、抖出了数学的家丑、动摇了数学的基础、宣告了数学确定性丧失的史无前例的危机。
　　“不完备性定理” 摧毁了经典数学，星光闪耀的希尔伯特之梦昙花一现地破灭！
　　哥德尔一生发表论著不多。但是，就凭借这个击败希尔伯特的“不完备性定理”，美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家中排在第一的就是：哥德尔

哥德尔的证明最核心的概念，是古典希腊哲学中一个有名的诡论：说谎者诡论
　　【纪元前6世纪希腊时代的一个诗人哲学家Epimenides 说了一句很有名的话：「所有的克里特岛人都是说谎的。」这句话有名倒不是因为它是真理，而是因为这句话是诡论，因为说这句话的人Epimenides 就是克里特岛人。
　　若这句话是真的，则 Epimenides 没有说谎，和这句话矛盾；反之，也是矛盾的。】
　　【再举一个例子来说明这个诡论。
　　A：B这句话是真的。
　　B：A这句话是假的。
　　我们可能会认为A(或B)这句话非真即假，且让我们来看看是否如此，假设A这句话是真的，即表示B这句话是真的，故「A这句话是假的」是真的，故A这句话是假的，和假设矛盾。我们现在假设A这句话是假的，则「B这句话是真的」是假的，故B这句话是假的，所以「A这句话是假的」是假的，即A这句话是真的，这又和我们的假设矛盾，结论是，A不论是真是假都得到矛盾。】
　　哥德尔是如何利用这个概念来证明不完备性定理呢？继续看
　　若说：「这句话是假的。」
　　那么利用前面的论证，这句话是矛盾的，所以任何一个一致的公设系统都无法推断这句话的真伪。
　　所以，哥德尔判断「这句话永远不能被证明。」
　　注意，「真」和「能被证明」并不相等，同样「假」和「不能被证明」亦不相等。
　　哥德尔证明了在皮亚诺公设内，可以说出「这句话不能被证明」，若愿意接受这件事，我们即可证明不完备定理了。
　　为证明方便，我们称「这句话不能被证明」为A，若在此系统内A被证明了，则由A的意义，即A不能被证明，知道「A」是假的，而在此系统内证明了一个假的叙述，表示此系统是不一致的；
　　故若此系统是一致的，则A不能被证明，则由A的意义得知A是真的，因它说它不能被证明，因此我们也就找到了一个叙述，即为A，它是真的，却无法被证明。
　　任何一个公设系统若能说出「这句话不能被证明」则此系统若非不一致，就是不完备。
　　请深吸一口气，注意!
　　“说谎者诡论”和“理发师悖论”有深刻的本质的区别！！！
　　“理发师悖论”可以通过打补丁弥补，把公理体系扩展到n+1维解决。
　　但是“说谎者诡论”通过增加公理体系扩展到n+1维、n+2维、n+3维，哪怕扩展到无穷大维都是没有用的，数理逻辑的公理体系永远解答不了这个诡论命题。
　　面对“说谎者诡论”这种命题，哪怕扩展到无穷大维，数理逻辑公理体系依然回答不了。也就是说，数理逻辑公理体系无论如何都做不到完备！
　　一个小小的命题，居然打倒了整个数学、科学、哲学系统，为什么会这样的怪异呢？

　这个叫康托尔的精神病，到处兜售他的谬论，他胡说八道说什么无穷大是分阶的，存在很多种类的无穷大，有∞1、∞2、∞3 。。。多无止境。
　　康托尔为这些不同的无穷大起了名字，分别叫阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2 。。。
　　而且这些个无穷大之间还能够比较大小。比如，康托尔说‘阿列夫0’比‘阿列夫1’小，而‘阿列夫1’比‘阿列夫2’小，而且小很多很多很多
　　但是，但是，正常的地球人都知道的，无穷大∞的意思是最大最大、最最最最大，无比的大。大到无比
　　这个大到无比的‘无穷大’，当然是独一无二的了，怎么可能出现不同的无穷大呢？
　　没听说过无穷大会有两个，可能会出现有∞1和∞2吗？
　　而且，更不可思议的是，这个∞1还比那个∞2更小！
　　满口胡言嘛
　　把无穷看做恶魔是可以理解的，每一个正常人都会想不通无穷大到底是什么玩意儿。曾经就有很多权威大神站出来主持公道，大声疾呼咱们严谨的科学界应该彻底放弃诡异的无穷大的概念。这个该死的无穷大既不是具体的数据，也不是其它什么可知的东东，从来没有人在实际工作中真正会遇到，它完全是人在自己头脑中臆断的怪物。 更气人的是，由于无穷大的问题必然引出无限的困惑，进而拉出无穷大的阶，让人发疯。
　　而且，那个疯子康托尔居然还证明了无穷大必须分级，证明了不同阶的无穷大之间还可以比大小，证明了存在这个无穷大比那个无穷大更大。关键是疯子的证明无人能够反驳，这更让大师们难堪。
　　当年康托尔提出无穷大的阶的概念时，遭到了普遍的嘲笑，从此康托尔精神分裂，最终在精神病院告别人世。
　　直到有一天，一个叫哥德尔的小混混，仅仅用了一招，就击败了武林大盟主希尔伯特。而哥德尔手中一剑封喉的那把独孤九剑，就是康托尔的无穷大‘阿列夫0’和‘阿列夫1’
　　关于无穷大的分级，请大家花两分钟看看下面这个视频。
　　http://v.youku.com/v_show/id_XNDkxMDkyMzQ0.html
　　【注：这个视频不是脑筋急转弯，视频的内容每一个数学系的学生都熟悉。因为这是数学系《泛函分析》中的关于可数和不可数的势（即‘阿列夫0’和‘阿列夫1’）的标准证明，而《泛函分析》是全球的每一个大学数学系的标配教材。】

　　虽然让人困惑，但是关于无穷大的问题是无法避免的。
　　可见、可触摸、可实验验证，有限的物理量是我们的支点，没错。但如果永远停留在支点故步不前，那不是井底之蛙吗，天空的广阔需要勇气，需要大胆跳出来欣赏。如果放弃无穷的观念，最起码地，微积分何去何从？
　　曾经那些放弃无穷大概念的呼声，早已被抛到九霄云外，而且永远不可能翻身。因为如今很时髦的傅里叶变换理论已经证明，任何有限定义域的函数，其傅里叶变换后一定是无限的。物理上的波粒二象性就是这个理论的一个例子。也就是说，任何（请注意是任何）有限的东东一定伴随着一个无限的影子。
　　原来无穷大无处不在，啊！
　　无穷大无处不在，无论是理科生还是文科生、无论是高中生或是大学生，都会碰到。比如，积分∫、比如西格玛∑
　　可能你不曾留意，积分∫和西格玛∑本质上是一回事，都是连加符号，而且都可以加到无穷。
　　但是，各位，既然都是连加运算，干嘛要搞出两个不同的符号呢？
　　熟悉而陌生，曾经你也刨根问底想过这个问题吗？
　　其实积分∫和西格玛∑的本质区别，在于无穷大。积分∫的那个无穷是不可数的，积分的无穷是‘阿列夫1’ ；而西格玛∑的那个无穷大是可数的，可数可列的无穷是‘阿列夫0’ 。
　　啊，啊，啊！
　　原来如此，一句话惊醒我梦中人，无穷真的有很多种啊！

　　哥德尔利用一个不可判定命题，证明了无论数理逻辑的公理体系如何强大，都会存在既不能证其真、也不能证其伪的命题。但仅此一个例证，就有如此摧古拉朽的威力么？就能把不可一世的数理逻辑公理体系打趴下了吗？
　　这和上面绕了半天苦口婆心解释的关于无穷大分级的概念，倒地有嘛关系？
　　别急，别急，准备好了，一句话就可以说明白。
　　下面我们来捋一捋“不完备性定理”关键点：
　　首先，靠一条一条公理补充列举的方法，建立和添加出来的公理体系必然是可列的。再次提醒童鞋们，可列集的无穷大只能达到阿列夫0 ；
　　另一方面，包容万象的命题体系却存在阿列夫1之多，远远大于阿列夫0所能阐述的范围。
　　所以，当哥德尔找到一个例子证明阿列夫0维度的公理体系无法判定某个命题时，希尔伯特立即意识到康托尔连续统理论，立即意识到连续统理论中多不可数的无理数，立即意识到和无理数一样多得多不可数的不可判定命题。
　　所以，以希尔伯特的伟大，仅仅遇到一个不可判定命题，就彻底放弃了反抗，因为这一个例外后面跟着‘多不可数’。
　　“不完备性定理”有个特点，对看不懂的人不起作用，对明白人打击很深。对功夫越深的打击越深，当年希尔伯特之所以被打击得够呛，因为他能够从一粒芝麻看到背后巨大的黑洞。
　　也就是说，数理逻辑公理体系之所以‘不完备’，本质上是因为数理逻辑的公理体系的维度最多是‘阿列夫0’，而客观世界的维度远远大于可列集合阿列夫0，所以可列无穷大‘阿列夫0’无法表达。
　　可能很多朋友以前没听过康托尔连续统理论，对关于无穷大的阶，对阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2不熟悉。也难免，对于不熟悉的很容易把人绕晕，何况是连大师都看不清的无穷大。
　　下面，让我们在有限维空间来看看所谓的‘不完备’具体是什么。
　　有限维空间中，公理体系和我们熟知的笛卡尔坐标系有点像，因为它们同属于线性系统。
　　大家都知道，在笛卡尔坐标系中，既不能在两维的平面里来造出一幢三维的房子，也不能在一维的线上画出二维地图。
　　这，就是“不完备性定理”的真谛。
　　原来，不完备定理的‘不完备’本质是维度的不完备。
　　大道至简！
　　“不完备性定理”如果放在有限维空间理解，一目了然的清晰明了。
　　不过，这究竟和“不确定性原理”有什么关系吗？

完备性和确定性有深刻的内在关系，好像一对矛盾体，孪生相伴。似乎，确定则不完备，完备就不确定。
　　“不完备性定理”告诉我们，可怜的严谨（确定）的数学逻辑，并不万能（完备）。而“不确定性原理”对逻辑的打击更甚，量子态居然要靠概率（不确定）来解读，所以伟大的爱因斯坦致死也不认可。
　　爱因斯坦曾经说过，上帝怎么可能会掷骰子呢？
　　荒唐啊！
　　关于不确定性，最荒唐的最著名的是一个叫“薛定谔猫”。
　　这只由薛定谔先生创造出来的的猫，闻名遐迩，因为它同时又黑又白、又公又母、又胖又瘦，更奇怪的是它居然同时既死又活。并且，它可不是星外的异形，而是一只普通猫咪。这只猫咪引起了全世界的争议，争议的结果是大家更加糊涂。只留下一大堆怪异的词汇、一大堆荒谬的怪论。

　　薛定谔猫吊诡实验是薛定谔专门设计来批驳打击哥本哈根学派量子态理论的诠释，他试图借此显露出描述量子态所需倚赖的矩阵理论存在瑕疵。因为薛定谔方程是确定的，而矩阵力学则会出现不确定性。
　　为了进一步说明这个问题，需要说说薛定谔方程的量子论和哥本哈根学派（海森堡那一派）矩阵量子论的异同。
　　这要先从薛定谔的发家史说起，网上有一段关于他的广为传播的传奇故事。

　　八卦故事固然夸张，有些内容的真实性也值得怀疑，但故事中关于薛定谔和哥本哈根学派的渊源应该是可信的。
　　在探索量子理论的长途中，哥本哈根学派走的是一条路，而薛定谔走的是另一条路，结果殊途同归，相互印证。
　　但是，慢点，慢点，既然薛定谔方程和哥本哈根学派矩阵都是表达同样的理论，为什么薛定谔可以自我标榜精确，哥本哈根学派却不敢呢？
　　这要从二者的表达方式说起，因为薛定谔方程是一个笼统的表达，而矩阵力学则是细致化分量的组合。
　　如果老师布置一道作业，要薛定谔同学和海森堡同学分别用自己的方式来描述人走路。那么薛定谔会把人看做一个点，再描述这个点前进的轨迹；但海森堡则不得不分别刻画人的眼、耳、口、鼻、手、脚、头、躯干等等人体的分量的情况、再把这些分量的状态组合起来才能描述整个人。
　　用概率术语来说薛定谔方程是积分后的数学期望的值，而矩阵力学是各个分量微分的线性空间的系统。
　　
　　【注：上面微积分等式的左边叫做数学期望(概率术语), 等式的右边实际上可以看做一个连续的广义矩阵】
　　再以有限的离散的空间举个简单例子，比如骰子
　　尽管每一次掷骰子会显示的数字1、2、3、4、5、6 是随机的
　　但是骰子有个固有属性永远不会变，那就是它的‘数学期望’
骰子数学期望属性=∑（1+2+3+4+5+6）*(1/6) = 常数

　　从这点看，矩阵力学显然比薛定谔方程更加精细，由于其信息量巨大，显然也更为复杂，同时也更为先进。薛定谔方程相对初级简单化，而态空间的系统理论更高级化。
　　所以，尽管死抱着确定性观念的爱因斯坦坚决不接受概率化解释的态空间理论，尽管他的坚定粉丝想用贝尔不等式证明他的正确，但是结果却是贝尔不等式反证了爱因斯坦的错误。以不确定性原理为基础的矩阵力学生命顽强，风雨摧残越战越勇，大有一统江湖的风范。
　　也正因为态空间是更加高级的表达方式（其维度是阿列夫2，这个后面证明），所以它会面临空间维度不完备的窘迫，而初级方式的薛定谔方程则遇不到维度问题。
　　完备性和确定性有深刻的内在关系，好像一对矛盾体，孪生相伴。如果空间维度（基矢量）不够，保证了确定性则会导致不完备，保证了完备性就会出现不确定。
　　比如，如果下雨天把一张纸放在地上，数出雨点的数量可以大致判断里雨量的大小，但是无法确知三维空间里关于雨滴的全部信息。在二维平面表达三维的状态，确定性和完备性无法同时满足。
　　再比如，矩阵的秩不够（小于维度），其行列式代数方程就不可能有唯一解。
　　另一个有意思的例子是，精确的科学只能证明很少的东西（不完备），而不精确的宗教却可以宣传无所不知（完备）。
　　我们对不确定性的了解仍然知之甚少，因为系统中不同的变量往往并不独立，很可能存在隐性相互制约性。所以，尽管上面的内容听起来似乎有那么点道理，但如果不能严格证明，那么一切揣测仍然只能算是满嘴忽悠、一派胡言、一碗笑料、一坨狗屎。
　　下一段，请一起来看看本人自以为是的原创证明，希望是客观严格的。

楼主，你好。我对你的观点很感兴趣。
其中提到的“不完备定理的‘不完备’本质是维度的不完备”是原创的吗，还是有其它出处？
这个想法是什么时候想到的呢，有没在正规期刊上发表过？
谢谢~