１．已知函数f(x)＝alnx-ax-3（a∈R）
（1）若a=-1，求函数f(x)单调区间；
（2）若函数y=f(x)的图像在点（2，f(2)）处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)=x^3+x^2*[f'(x)+m/2]在区间t∈(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）若x1,x2∈[1,+∞)，比较ln(x1x2)与x1+x2-2的大小。
【明天公布答案】

1,f(x)＝x-lnx-3=(x-1)-lnx-2
f'(x)=1-1/x=(1-x)/x...
2。
f(x)＝alnx-ax-3
f'(x)=a/x-a
f'(2)=1=>a=-2
g(x)=x^3+[-2x+2x^2+mx^2/2]
g'(x)=3x^2+4x+mx-2
由题意，即g'(x)有零点，首先有判别式大于0
然后g'(2)*g'(3)<0，求交集
h(x2)=ln(x2x3)-x2-x3+2
h'(x2)=(1-x2)/x2
=>>h(x2)
<=h(1)
=lnx3-x3+1
=lnx3-(x3-1)
<=0

3)
今a=1,
有lnx-x-3<=-4
即lnx-x+1<=0
lnx2-x2+1<=0…1
lnx1-x1+1<=0…2
1+2即证

1答案.（1）单调递增区间(1,+∞)减(0,1)
（2）m∈(-37/3,-9)
（3）x1=x2=1时，ln(x1x2)=x1+x2-2 x1.x2不全为1时，ln(x1x2)＜x1+x2-2
2.设函数f(x)=x^2+ax-lnx.
（1）若a=1，试求函数f(x)的单调区间；
（2）过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，证明切点的横坐标为1；
（3）令g(x)=f(x)/(e^x)，若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求a的取值范围。

g(x)=(x^2+ax-lnx)/e^x
今h(x)
=e^(x)*g'(x)
=(x^2+2x+ax+a-lnx-1/x)
即h(x)<=0，，，(0<x<1)
今h(1)<=0=>2+2a<=0=>a<=-1
h'(x)=2x+2+a-1/x+1/x^2
=(2x^3+(2+a)x^2-x+1)/x^2
=t(x)/x^2
t'(x)=6x^2+2(2+a)x-1
其判别式4(2+a)^2+24>0
=>h'(x)
起来再做。。。

2）f(x)=x^2+ax-lnx.
f'(x)=2x0+a-1/x
设切点k(x0,f(x0))
则过切点的切线
g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0)
g(0)=0=>1-lnx0-x0^2=0
今t(x0)=1-lnx0-x0^2
t'(x0)<0==>t(x0)单调递减,最多只有一个零点
注意到t(1)=0，所以x0=1
(3)
1...g(x)=(x^2+ax-lnx)/e^x
a<=[(1/x)-lnx-2x+x^2]/(1-x)=w(x)
今a<=w(1)=>a<=2
2...今h(x)
=e^(x)*g'(x)
=(-x^2+2x-ax+a+lnx-1/x)
即h(x)<=0对于(0<x<1)恒成立
今t(x)
=x^2h'(x)
=(-2x^3-(a-2)x^2-x+1)
t'(x)=-6x^2-2(a-2)x-1
2.1...当0<=a<=2时，
t'(x)<0,t(x)<=t(1)=-a<0
h(x)<=h(1)=0,符合题意
2.2...当a<0时，t(x)<=-a>0,任取x属于(-a,1),有t(x)>0,h(x)>=h(1)=0,不符题意
综上，0<=a<=2
我还是去修炼多次求导吧。。。

2答案：（1）减(0,1/2)增(1/2,正无穷) （2）略
（3）a属于(负无穷,2]
3.已知函数f(x)=ax^2+x-lnx.
（1）当a＞0时，求单调区间；
（2）若f(x)＞＝1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设a=1，b＞1，求证：在区间(1,b)上有唯一实数x0，使f'(x0)=[f(b)-f(1)]/(b-1)。

2),f(x)=ax^2+x-lnx>=1,
a>=(1+lnx-x)/x^2=g(x)
注意到x^2>0,1+lnx-x<=0,
所以只需a>=max{g(x)=g(1)}=0

3）由拉格朗日中值定理知：在区间[1,b]上必存在一点c，使得
f'(c)=[f(b)-f(1)]/(b-1)。
现在只要证这个点c是唯一的...
f'(x)=2x+1-1/x
f"(x)=2+1/x^2>0
f'(x)在区间[1,b]上单调。所以不可能存在C1,C2使得f'(C1)=f'(C2)
所以x0有且只有一个
考试时好像有必要证明一下这个定理。。。

f'(x0)=[f(b)-f(1)]/(b-1)。3)
即
t(x)=(2b-2)x+(lnb-b^2)+(1-b)/x
在区间(1,b)上有唯一零点x0
t'(x)=[(b-1)(2x^2-1)]/x^2>0,……1
t(1)=b-b^2+lnb=h(b)
.....h'(b)<0,h(b)<h(1)=0
t(b)=b^2-2b+lnb+1/b=m(b)
...m'(b)>0,m(b)>m(1)=0
所以t(b)*t(1)<0……2
由1，2可知，t(x)在〔1,b〕上有且只有一个零点，
从而在区间(1,b)上有唯一实数x0，使f'(x0)=[f(b)-f(1)]/(b-1)。

3答案：（1）增（[√（1+8a）-1]/4a,+∞）减（0，）
（2）a∈[0,+∞]
(3)略
4.设函数f(x)=x^2+bln(x+1),其中b不等于0.
（1）当b＞1/2时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）求函数f(x)的极点；
（3）当b=-1时，证明：对任意正整数n,不等式ln(1+1/n)＞1/(n^2)-1/(n^3)恒成立。

f(x)=x^2+bln(x+1)
f'(x)=2x+b/(x+1)=(2x^2+2x+b)/(x+1)
当1/2<b时，f(x)无极点
当[-b-sqrt(4-8b)]/4<-1时，即b^2+6b-3<0...f(x)有两个极点...不讨论了

f(x)=x^2-bln(x+1)
ln(1+1/n)＞1/(n^2)-1/(n^3)
今1/n=x,0<x<1
只需证k(x)=x^2-ln(1+x)-x^3<0对于0<x<1恒成立
k'(x)
=2x-1/(x+1)-3x^2
=2[-3x^3-x^2+2x-1]/[(1+x)]
<0
k(x)<=k(0)=0
得证

电脑坏掉了。。。等它好了再发新的吧我打不出来符号。。