今天我来科普一下平行板波导的传输线模型。我不打算多说波导或者传输线，关于这俩的知识就太多了，我只讲下传输线方程的引入。各位要是不懂请自学，其实我也不是很懂，相比电磁波我自认为对半导体物理更在行一点。
先稍微简单介绍一下，波导简单的说就是将电磁波限制在一个导行模式进行传输的介质，光纤就是一种波导。我今天要说的是最简单的波导——金属波导中最简单的一种情况——平行板波导的TEM模式，平行板波导在现实生活中是不存在的，不过与其类似的矩形波导比较常见，矩形波导的传输线模型和平行板波导如出一辙，只是更加复杂了点。
传输线理论则是分布式参数电路的理论基础，在分布式参数电路中传输线方程就相当于集总参数电路中的基尔霍夫定律，今天我就要从场和波的角度引入平行板波导的传输线方程。

现在我们考虑下面这个平行板波导（图是我用windows自带的画图画的）：

上下两块是完美金属平行板，有电导率σ→∞。y方向是无限长的，实际上就相当于一个二维问题。假设在平行板波导内存在一个TEM波，也就是电场、磁场方向都与传播方向（z方向）垂直的平面波。我们现在设电场E方向为x方向，磁场H方向为y方向，E和H可以表示为：

对于平行板波导需要满足以下边界条件，n0是表面单位法矢量，E1，E2，H1，H2分别是介质边界两侧的电场、磁场。Js是表面电流密度。学过相关课程的同学可能见到更多的边界条件是第二个等式右边为零，对于一般材料来说第二个等式右边其实就是零，因为如果表面电流密度不为零，那么该处的体电流密度就会发散。但是对于完美导体来说，内部体电流密度必须为零（否则它乘以无穷大的电导率，得到的电场发散），它允许存在表面电流密度。

下面我们要用到喜闻乐见的Maxwell方程了（其实前面已经用到了，平面波表达式就是Helmholtz方程的解，边界条件也是用环路定理推出来的）。我们这里只需要用到两个环路定理：

上式中Hy，Ex分别是磁场H的y分量和电场E的x分量，将平面波函数带入上面两个方程（其实右边已经带入了），就可以得到：

其实我们的工作至此已经完成了，以前见过传输线方程的同学肯定会觉得上面这两个方程眼熟。接下来我们要做的就是把电场E和电压V、磁场H和电流I联系起来。

现在我们把V(z,t)和I(z,t)带入（1），（2）式中，就得到了传输线方程：

其中，分布电感：

分布电容：

传输线方程又称为电报员方程，顾名思义发电报都得靠这个方程，因为电报的先就是典型的传输线，它存在分布电感和分布电容，不能用理想导线来近似。另外并不是只有很长的线才需要用传输线方程，只要电路尺寸可以和波长相比拟就不再是集总参数电路了，所以传输线理论在高频电路（比如手机中的射频部分）中有很多应用，也包括金属波导。
好了，至此我们已经建立了平行板波导的传输线模型，至于你要是问我这个方程怎么解。那是传输线理论的事情了，有兴趣的话请阅读相关书籍。

最后来张传输线的等效电路吧。

其实我不太喜欢看传输线的等效电路，这个我就不多说了。线性电路的电路图作为微分方程的另一种表达方式有时候会把问题描述得很明白。但是由于传输线方程是偏微分方程，传输线的等效电路必须画成差分方程的形式，很难帮助别人理解，一般只会起到反作用。。。

顺便吐槽两句，陈抗生的《电磁场与电磁波》真是本神书啊，完全以传输线贯穿全书，连折反射都是用传输线理论解的。可惜我当时选了英文班，用的是孔金瓯的Electromagnetic Wave Theory，那本比较正常，没怎么讲传输线，所以我传输线学的也很浅。传输线也不是万能的，“路”是“场”的特例，传输线方程只能解决平面波或者可以分解成有限个平面波的情况（比如矩形波导），对于散射辐射问题都是没法建立传输线模型的。

完

物理系在紫荆巷