f(x)在实数域内有定义，且满足f(x+y)=f(x)f(y),求f(x).。
百度到的柯西解答：
证明：
（柯西法）
（1）先证明x为整数的情况，设x=n（正整数),则f(n)=f^n(1)
令f(1)=a,则f(n)=a^n
令x=0,则f(0)=f(0)^2,故f(0)=0或1
显然f(0)不为0，否则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0为常数函数
又f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)=1,f(-n)=1/f(n)=a^(-n)
（2）证明有理数情形
设x=m/n(m,n为整数,n非0)，则f(m)=f(m/n*n)=f(m/n)^n=a^m
f(m/n)=a^(m/n)
(3)证明实数情形
当y趋于0时，limf(x+y)=limf(x)f(y)=f(x)*limf(y)=f(x)*f(0)=f(x)*1=f(x)
注意f(x)在点x=0处连续lim(x趋于0）f(x)=a^0=1
所以f(x)为R上的连续函数，因此有f(x)=a^x(x属于任何实数）
柯西法中第三步用到了x=0处邻域内f(x)的连续性，如果题目没给出连续性这一条件怎么证得的？
百度到的柯西解答：
证明：
（柯西法）
（1）先证明x为整数的情况，设x=n（正整数),则f(n)=f^n(1)
令f(1)=a,则f(n)=a^n
令x=0,则f(0)=f(0)^2,故f(0)=0或1
显然f(0)不为0，否则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0为常数函数
又f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)=1,f(-n)=1/f(n)=a^(-n)
（2）证明有理数情形
设x=m/n(m,n为整数,n非0)，则f(m)=f(m/n*n)=f(m/n)^n=a^m
f(m/n)=a^(m/n)
(3)证明实数情形
当y趋于0时，limf(x+y)=limf(x)f(y)=f(x)*limf(y)=f(x)*f(0)=f(x)*1=f(x)
注意f(x)在点x=0处连续lim(x趋于0）f(x)=a^0=1
所以f(x)为R上的连续函数，因此有f(x)=a^x(x属于任何实数）
柯西法中第三步用到了x=0处邻域内f(x)的连续性，如果题目没给出连续性这一条件怎么证得的？
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2楼2014-01-27 02:06
2楼2014-01-27 02:06收起回复
先求Q上的 再证明有非连续解.
