T=C(0,3n)+C(3,3n)+...+C(3n,3n)=1/3[2^(3n)+2·(-1)^n]
证明:记三次单位根ω=1/2(√3i-1)
则ω^3=1,ω^2+ω+1=0
3T
=(1+1+1)C(0,3n)+(1+ω+ω^2)C(1,3n)+(1+ω^2+ω^4)C(2,3n)+(1+ω^3+ω^6)C(3,3n)+...+(1+ω^(3n)+ω^(6n))C(3n,3n)
=(1+1)^(3n)+(1+ω)^(3n)+(1+ω^2)^(3n)=2^(3n)+[(1+√3i)/2]^(3n)+[(1-√3i)/2]^(3n)
=2^(3n)+[e^(iπ/3)]^(3n)+[e^(5iπ/3)]^(3n)
=2^(3n)+2·e(iπn)
=2^(3n)+2·(-1)^n
故T=1/3[2^(3n)+2·(-1)^n]

设函数f(x)=5x^2+bx+c(b,c∈Z),若方程f(x)=0在区间(2,3)上有两个不等的实根x1,x2,则f(2)·f(3)=___
(答案:1)

设x=cos(π/13),y=cos(3π/13),z=cos(9π/13),则xy+yz+zx=___
(答案:-1/4)

设a,d是非负数,b,c是正数,且b+c≥a+d.则b/(c+d)+c/(a+b)的最小值是___
(答案:√2-1/2)

设a是实数,且方程x^4+3ax^3+a(1-5a^2)x-3a^4+a^2+1=0有实根且不同的实根至多有两个,则a的值为___
(答案:±2√26/13)
令x=y-a,代入原方程有y^4-ay^3-3a^2y^2+ay+1=0.
又y≠0,故y^2+1/y^2-a(y-1/y)-3a^2=0,
即(y-1/y)^2-a(y-1/y)-3a^2+2=0.设t=y-1/y,则方程t^2-at-3a^2+2=0的一实根对应原方程两不同实根,故Δ=13a^2-8=0,a=±2√26/13

设Sn=1+1/2+...+1/n,Tn=S1+S2+...+Sn
Un=1/2T1+1/3T2+...+1/(n+1)Tn,则(n+2)S_(n+1)-Un=2n+2
证明:注意到Tn
=S1+S2+...+Sn
=1+(1+1/2)+...+(1+1/2+...+1/n)
=n·1+(n-1)·1/2+(n-2)·1/3+...+1·1/n
=(n+1)Sn-n
=(n+1)S_(n+1)-(n+1)
故Un
=∑(k=1,n)Tk/(k+1)
=∑(k=1,n)[S_(k+1)-1]
=T_(n+1)-(n+1)
=(n+2)S_(n+1)-(2n+2)
故(n+2)S_(n+1)-Un=2n+2

已知两个整数数列a0,a1,a2,...和b0,b1,b2,...满足
(1)对任意非负整数n,有|a[n+2]-a[n]|≤2
(2)对任意非负整数m,n,有a[m]+a[n]=b[m^2+n^2]
证明:数列a0,a1,a2,...中至多只有6个不同的数
证明:注意到
a[p+q]+a[pq-1]=a[p-q]+a[pq+1]（p≥q），
则|a[p+q]-a[p-q]|=|a[pq+1]-a[pq-1]|≤2，
所以奇数项和偶数项均至多有三个不同的值，
这表明{a[n]}中至多有六个不同的值.

设在抛物线y^2=2px(p＞0)上有2^n个点,依次为P[1],P[2],...,P[2^n],F为抛物线的焦点,每相邻两点与F连线的夹角都相等,即∠P[1]FP[2]=∠P[2]FP[3]=...=∠P[2^n]FP[1].设P[i](i=1,2,...,2^n)到准线的距离为d[i],求∑(i=1,2^n)1/d[i]
解:设FP[1]与x轴正半轴成α角.
由题意知∠P[1]FP[2]=∠P[2]FP[3]=...=∠P[2^n]FP[1]=π/2^(n-1).
d[i]=p/(1-cos[(i-1)·π/2^(n-1)+α]),i=1,2,...2^n
则∑(i=1,2^n)1/d[i]
=1/p·∑(i=1,2^n)(1-cos[(i-1)·π/2^(n-1)+α])
=2^n/p-1/p·∑(i=1,2^n)cos[(i-1)·π/2^(n-1)+α]
=2^n/p-1/p·∑(i=1,2^(n-1))(cos[(i-1)·π/2^(n-1)+α]+cos[(i+2^(n-1)-1)·π/2^(n-1)+α])
=2^n/p-1/p·∑(i=1,2^(n-1))(cos[(i-1)·π/2^(n-1)+α]+cos[(i-1)·π/2^(n-1)+α+π])
=2^n/p
注:亦可以如下计算
∑(k=1,2^n)cos[(k-1)·π/2^(n-1)+α]
=∑(k=1,2^n)Ree^(i·[(k-1)·π/2^(n-1)+α])
=Re∑(k=1,2^n)e^(i·[(k-1)·π/2^(n-1)+α])
=0

上题的图片版...

lim(n→∞)sin²(π√(n²+n))=lim(n→∞)sin²(π(√(n²+n)-n))=lim(n→∞)sin²(π·1/(√(1+1/n)+1))=1

给定整数n≥2,对任意互素的正整数a1,a2,...,an,
记A=a1+a2+...+an.
设A与ai(i=1,2,...,n)的最大公约数为di;
a1,a2,...,an中删去ai后余下的n-1个数的最大公约数为Di.
求∏(i=1,n)[(A-ai)/diDi]的最小值.
解:考虑D1=(a2,a3,...,an)与d2=(a2,A)=(a2,a1+a2+...+an).
设(D1,d2)=d,则d|a2,d|a3,...,d|an,d|A.
故d|a1,从而d|(a1,a2,...,an)=1,有d=1.
注意到D1|a2,d2|a2,且(D1,d2)=1.
于是,D1d2|a2,D1d2≤a2.
同理,D2d3≤a3,...,Dnd1≤a1.
故∏(i=1,n)diDi
=(D1d2)·(D2d3)·...·(Dnd1)
≤a2a3...ana1
=∏(i=1,n)ai——①.
考虑到,∏(i=1,n)(A-ai)
=∏(i=1,n)(∑(j≠i)aj)
≥(n-1)^n·∏(i=1,n)ai——②.
由①②易知∏(i=1,n)[(A-ai)/Didi]≥(n-1)^n.
另一方面,当a1=a2=...=an=1时,∏(i=1,n)[(A-ai)/Didi]=(n-1)^n.
综上,∏(i=1,n)[(A-ai)/Didi]的最小值为(n-1)^n

我梦想有一日数学能像你一样。。

手打不累么。。

好贴好题