主体思想：抛弃小数原始含义，给小数赋予字典序。

从纯小数开始。也就是讨论形如0.a(1)a(2)a(3)...的小数。形式化地说，它可以看作一个数列，或者更细致地说，是正整数集N+到J={0,1,2,...,8,9}的映射。

现在记这些纯小数的集合为P，即有P=J^(N+)。给P赋予字典序，也就是说比较大小时先比较高位，再比较低位。这样一来，我们就有了例如0.0999...<0.1这样的结论。

对这样一个集合P，我们显然可以毫无阻碍地定义有限小数之间的加减乘除（只要范围不超过纯小数，比如0.5+0.6超过了纯小数就暂且不予考虑），之后同理有限小数和无限小数的加法也好办。减法则只能考虑无限小数减去有限小数。有限小数和无限小数的乘除还无定义；另外无限小数目前也无法互相运算。注意这里只是维持了最低限度的运算要求，并不是说无法定义。

为了更方便地刻画P，我们定义一个P到R的函数r，使得r(a)=∑a(n)/10^n，也就是说r把小数a映射成常规的实数。

首先，我们知道一个实数一定能在级数意义下表示为小数（虽然不一定唯一l），所以r是满射；但r不是单射。比如r(0.1)=r(0.0999...)=1/10（避免混淆我们用分数表示通常意义的实数）。通过简单地数学归纳（大家可以自己试着证明），如果a不等于b且r(a)=r(b)，那么（不妨设a>b），那么a必然是有限小数，比如a=a(1)a(2)...a(n)；同时，b=a(1)a(2)...(a(n)-1)999...。也就是说，a和b一个末位全是0，一个末位全是9。所以我们可以得知，每个[0,1]中的实数x至多有两个原象，而且当且仅当x能表示为有限小数时能有两个原象。

基于这个理由我们可以把P分拆成三份，末尾全为0的小数集P0，末尾全为9的小数集P9，以及剩余的小数集P*。那么，r在P0并P*或者P9并P*上都是一一映射。

既然我们有了一个映射，那么最好P要有拓扑结构。然而，P没有度量可用，我们只能够给P赋予序拓扑，也就是一切P中的开区间生成的拓扑。在这个拓扑的意义下，r是P到R的开映射，从而是商映射，在这种意义下可以把R看作是把r(a)=r(b)的a和b黏结成一点作成的空间。

不同于R，对于P中每个开区间(a,b)，有几种另类的情况：
第一，r(a)=r(b)，这时(a,b)是空集。
第二，a属于P9，这样一来a有一个紧接后元a'，这样(a,b)=[a',b)。也就是说这个开区间左边是”闭”的。
第三，b属于P0，同上b有紧接前元b'，从而(a,b)=(a,b']。
不过其它性质还是比较类似R的。由于r是连续的（易证），所以如果区间(a,b)非空，那么必然有不可数无限个数；同时也容易发现(a,b)中必然含着P0和P9中的点，P*的点则更不必说。换句话说，P0，P9，P*都在P中稠密。

至此我们能够得到P的第一个拓扑性质：处处不连通。为什么呢？假设(a,b)为P中任意一个不空的开区间，那么由稠密性，区间里有一个P9中的点x，且紧接后元x'也在其中。这样一来就能发现，(a,b)=(a,x]并[x',b)，这两个都是开区间（(a,x]=(a,x')，[x',b)=(x,b)），所以(a,b)能分割成两个分离的开区间，所以(a,b)不连通。也就是说，每个不空的开区间都不连通，亦即处处不连通。

至于紧致性则没有那么明显了。首先可见，P*和r(P*)同胚，所以r(P*)中的紧致集可以直接推到P*，例如Cantor集这类的。但是其他的就不好说了。在实数集R(正常拓扑)下，每个有界闭区间都是紧致的；但是对P来说则恰恰相反：P中一个非空的闭区间[a,b]（b≠a'）都是不紧致的！
事实上，如果P的一个子集E具有非空的内部，那么它就是不紧致的。
证明如下：
假设E的内部非空。那么E含有一个开区间(a,b)。
因为P9在(a,b)中稠密，所以(a,b)中可以找到一个严格递增的P9序列{x[n]}，且它在通常拓扑下收敛到某个x∈(a,b)∩P9，如此一来，我们构造一族开区间E[n]：
E[1]=(0,x[1]‘)
E[n]=(x[n-1],x[n]’)（对n>1）
容易看到，E[n]互不相交，而且E[1]∪E[2]∪…∪E[n]=(0,x[n]')。
于是所有E[n](n≥1)的并=(0,x')。从而，如果令E[0]=(x,1)，那么所有的E[n]仍然互不相交，而且所有E[n](n≥0)的并就是(0,1)=P，P当然覆盖了E，所以{E[n]}构成E的一个开覆盖，因为E[n]互不相交，所以也就不存在有限的子覆盖。从而E不紧致。
P中的紧致集具有什么具体的形状还暂不清楚。如果有兴趣可以试着研究一下。

才疏学浅啊。。。完全没看懂。。。如果按楼主的假设，不就可以得到实数集和整数集等势了吗？

大师，学习了，马克

和我们数分老师讲0到1开区间数和实数集的数相等用的方法有共同点，，大神。。估计等我学了级数就能好理解了吧。。。打脸@fly茅庐知天下