存在类型的题一般反证容易解。
假设不存在这样的c，则对于所有x属于(a,b)，都有g(x)<0。由保号性，对每一个x0属于(a,b)，都存在一个deta>0，使得t属于(0,deta)时，有(f(x0+t)-f(x0-t))/t<0，即f(x0+t)<f(x0-t)。
通俗的讲，即对于每一个x0，我们可以找到这样的一个以x0为中心的区域，距离离x0相等距离的点都满足x0左侧的比右侧的大。那么这样我们对[a,b]上每一个解都存在这样的区间，这样就构成了[a,b]的一个开覆集。由有限覆盖定理可知，比存在有限子覆盖。则我们可以在相交区域找到这样的点的x0,x1,x2……xn，满足f(a)>f(x0)>f(x1)>f(x2)>……>f(xn)>f(b)。矛盾。
实际上这个证明我感觉还是有点不严谨，可能我表述不太严谨。。。

惊扰了。