【求助】如何让InterpolationFunction现原形？

……啥叫现原形啊？

……奇怪，13年的9月我怎么忘了继续回这帖了。不过那时节确实也没多少可说的，因为：
1. InterpolatingFunction 里确实没有存储与插值函数对应的符号多项式，所以我们没法简单地从中把所需的多项式提取出来。
2. InterpolatingFunction 本身已经是优化过的数值函数，改用符号式的插值多项式大概也占不了多少便宜（编译一下或许有效果？）。在NIntegrate那边想想办法可能还实际一点，比如给NIntegrate添加Method -> {Automatic, SymbolicProcessing -> 0}选项，或是直接改用梯形规则或是高斯积分规则。（当然了，这些方法对于一些性质不太好的积分效果不佳，但是既然你的被积函数里含了插值函数，那你的被积函数性质应该是比较好的？）
最后，需要补充的是，InterpolatingFunction 在版本11（16年才发布嗯）引入了一个"GetPolynomial"方法，这个方法可以从插值方法为"Hermite"的一元函数里面提取多项式，Carl Woll（WRI员工，Wolfram|Alpha首席开发者）还为此写了一个函数：
InterpolationToPiecewise[if_, x_] := Module[{main, default, grid}, grid = if["Grid"]; Piecewise[ {if @ "GetPolynomial"[#, x-#], x < First @ #}& /@ grid[[2 ;; -2]], if @ "GetPolynomial"[#, x-#]& @ grid[[-1]] ]] /; if["InterpolationMethod"] == "Hermite"
更多内容可参考《Extracting the function from InterpolatingFunction object》（SE编号 59944 ）。
我们拿这个函数测试一下前面的猜测：
dat = Table[{x, Sin[x]}, {x, 0, 2 Pi, 2 Pi/25.}];
func = Interpolation[dat];
piece[x_] = InterpolationToPiecewise[func, x];
cf = Compile[x, #, RuntimeOptions -> EvaluateSymbolically -> False] &@
piece[x];
NIntegrate[x piece[x], {x, 0, 2 Pi}] // RepeatedTiming
(* {0.0655642, -6.28287} *)
NIntegrate[x func[x], {x, 0, 2 Pi}] // RepeatedTiming
(* {0.013448, -6.28287} *)
NIntegrate[x cf[x], {x, 0, 2 Pi}] // RepeatedTiming
(* {0.00544045, -6.28292} *)
NIntegrate[x func[x], {x, 0, 2 Pi},
Method -> {Automatic, SymbolicProcessing -> 0}] // RepeatedTiming
(* {0.000853251, -6.28292} *)
NIntegrate[x piece[x], {x, 0, 2 Pi},
Method -> {Automatic, SymbolicProcessing -> 0}] // RepeatedTiming
(* {0.000951117, -6.28292} *)
NIntegrate[x cf[x], {x, 0, 2 Pi},
Method -> {Automatic, SymbolicProcessing -> 0}] // RepeatedTiming
(* {0.000528332, -6.28292} *)
好嘛，未编译的分段多项式反而是最慢的。对符号分段多项式进行编译可以提速，但是改NIntegrate选项综合而言还是最优的（编程简单，而且提速显著）。当然了，一维的经验可能不能直接推广至二维，但我想上面这个例子还是有启发性的。

此外，对于不规则的（unstructured）网格近年来也出现了一些相关讨论，不过这个话题就更难了（主要坑点是自变量的定位，或者说，分段函数的分段条件），一个相关的SE帖子是《2D Interpolation for symbolic function values on unstructured grid》（编号 311670 ），有兴趣的可以参考。