I apologize/ my apologies 更正式。具体没分别的，看context，I'm sorry 程度也可以很高。

I apologize 表示一种非常正式的道歉口气。是媒体和政府应该使用的词汇。
而 I'm sorry 只是表达一种口语式的遗憾，惋惜，略微抱歉的感情。如果某国政府需要向我国道歉，则应用 apologize 而不是 sorry

没有吧，我看电影时主角都是说i'm sorry，说明这适用于口语，并不正式

才不用正式=。= 稍微磕了碰了一下别人就说sorry啊...

小事：I'm sorry
大事：My sincere apology

不是真的，你不小心碰到别人也可以说I'm sorry

个人觉得：
这个报纸在误导大众，请勿继续订购，有可能就是没有文章了编辑在乱凑文章。
Im sorry没有他说的这么严重，什么时候都可以Im sorry。
Apologize比较书面用语，用于写信或者商务文档。

不是真的，天天说的最多的就是im sorry.....

同上

哇，真的没想到这么多大神来指教，谢谢大家！

就跟你说「对不起」、「抱歉」、「不好意思」、「失礼」的区分咯。 不同的表达不同的含义。 比如说、你撞到人了〜oops sorry。 你得罪人相人赔不是〜i'm sorry。 你得罪的人大有来头、不敢怠慢「I apologize for my actions」之类的。 我家老爹说话比较粗心、结果我不爽了、他就会说「I'm apolegetic」都说到这份上了孩子还能不气消吗？

Sorry是名词adj.（抱歉的）I'm sorry我是抱歉的，Apologize是动词v.（抱歉）I apologize to you我给你道歉