第十届中国东南地区数学奥林匹克试题

第二题解答: 先证明P,D;C,B为调和点列. 之后证明PE的中点L在BF上(Menelaus或调和性质....) 然后有PL^2=LE^2=LN*LM→△PLN相似于△MLP→∠EPN=∠BMN=∠NEQ. 另外由切线得∠NQE=∠PEN. 则△NQE∼△NEP⇒∠ENQ=∠PNE.

第一题切三个根是tanA,tanB,tanC，A,B,C是一三角形三内角，应该很快。第二题我都快有调和强迫症了。。。第三题看着像斐波那契数列，还没动笔，第四题看图知道是陶爷爷的题，目测是暴力枚举

第二天第二题:
设x=(i=n)∏(i=1)[Pi^ai]=P1^a1*P2^a2*...*Pn^an
则A/x=(i=n)∏(i=1)[Pi^(Pi-ai)]
也就是说A/x的正公因数的个数为(i=n)∏(i=1)(Pi-ai+1).
由条件得(i=n)∏(i=1)(Pi-ai+1)=(i=n)∏(i=1)[Pi^ai] (*) (且a1=0,1)
现在从n开始讨论, 因为PN是最大的质数,若an＞1, 那PN-aN+1＜PN. 因为PN是质数,所以我们知道(i=n-1)∏(i=1)(Pi-ai+1)没有PN为因子→(*)式不可能成立.（这里体现了质数的本质)
另外若an=0, 则PN-aN+1=PN+1=偶数→(*)LHS的(PN-aN+1)至少有一个2为因子. 这是不可能因为若a1=0,则P1-a1+1=3和(*)RHS不是偶数. 若a1=1, 则P1-a1+1=P1=2→(*)RHS只有一个2为因子,但LHS有两个2为因子→不可能.
所以an=1. 之后讨论n-1, 同理a(n-1)=1,...,a2=1,易知在这里a1=0是不可能(那就有两个3的因子). 所以a1=1→x=P1^1*P2^1*...*Pn^1=P1*P2*...PN.

出成绩拉？估计6个金吧

没人讨论解答？