第十章
1.设H是R^k中的紧凸集且其内部不空,f在H上连续,在H的余集中定义f(x)=0.按定义10.3定义
∫ _Hf.证明∫ _Hf与其中k个积分的施行次序无关.

2.设F是定理10.7所说的,
(1)证明定理10.7的另一种叙述法F(x)=F'(0)Gn...G1(x),Gi(x)是本原映射.
(2)证明映射R^2->R^2，(x,y)->(y,x)在原点的任何邻域内不能是任何两个本原映射的复合.

3.定义F(x,y)=(e^xcosy-1,e^xsiny),H2(x,y)=(x,e^xsiny),求H1(u,v)使F1(x)=H2H1(x).
这里F1(x)=[F'(0)]^(-1)F(x).

4.设K是任意度量空间的紧子集,叙述并证明与定理10.8类似的定理.

5.证明定理10.8中的函数Φi能换成无穷可微的函数.

6.证明仿射变换把凸集变为凸集.

7.设T是仿射变换(0,0)->(1,1),(1,0)->(3,2),(0,1)->(2.4).H是以(1,1),(3,2),(4,5),(2,4)为顶点的平行四边形.用T把积分a=∫_He^(x-y)dxdy变成I^2上的积分以求a.

8.设r1,...rk是非负整数,证明∫_Q^kx1^r1...xk^rkdx=(r1!...rk!)/(k+r1+...+rk)!,其中Q^k是R^k中的标准单形.

9.设ω和λ分别是k-形式和m-形式,证明ω∧λ=(-1)^(km)λ∧ω.

10.设 σ=[p0,...pk]是有向仿射k单形,证明∂^2σ=0.

11.设J^2=τ1+τ2,τ1=[0,e1,e1+e2],τ2=-[0,e2,e1+e2].说明为什么J^2可以称作正向单位正方形.证明∂J^2是4个仿射1-单形的和,找出这些仿射1-单形.∂(τ1-τ2)是什么?

12.说明公式∫_φ fdω=∫_∂φ fω-∫_φ(df)∧ω成立的条件.

13.考虑R^2-{(0,0)}中的1-形式:η=(xdy-ydx)/(x^2+y^2).
(1)证明dη=0.
(2)令γ(t)=(rcost,rsint),r>0.令Γ是R^2-{(0,0)}中以[0,2π]为参数域的c''闭曲线,使得闭区间[γ(t)，Γ(t)]不包含0.证明:∫_Γ η=2π.
(3)证明∫(0,2π)ab/(a^2cos^2t+b^2sin^2t)dt=2π.
(4)证明在x不等于0的任意凸开集中η=d(arctan(y/x)),而在y不等于0的任意凸开集中η=d(-arctan(y/x)).说明η在R^2-{(0,0)}中不是恰当的,但记号η=dθ是合理的.
(5)Γ是R^2-{(0,0)}中的c'闭曲线,证明1/(2π)∫_Γ η=Ind(Γ).

14.固定n.对1<=k<=n,定义rk=(x1^2+...+xk^2)^(1/2).令Ek是使rk>0的一切x属于R^n的集.令ωk是Ek中由ωk=(rk)^(-k)∑(1,k)(-1)^(i-1)xidx1∧...dx(i-1)∧dx(i+1)...∧dxk确定的(k-1)-形式.
(1)证明dωk=0.
(2)对于k>1,证明ωk=d(fkω(k-1))=(dfk)∧ω(k-1).借此证明ωk在E(k-1)中是恰当的.这里fk(x)=(-1)^kgk(xk/rk),gk(t)=∫(-1,t)(1-s^2)^((k-3)/2)ds.
(3)判断ωn在En中是否恰当.

15.设ω是开集E属于R^n中的,使E中每个闭曲线γ 满足∫_γ ω=0的c'类1-形式.证明ω在E中恰当.