8.设Ln=(1/2pi)∫ (-pi,pi)|Dn(t)|dt,证明序列{Ln-4/(pi^2)lnn}有界.

9.设γ是复平面中连续可微闭曲线,参数区间是[a,b],设γ(t)不为0,,定义γ的指标是Ind(γ)=1/(2ipi)
∫(a,b)γ'(t)/γ(t)dt,证明Ind(γ)是整数.

10.设γ如9所设,γ的值域与负实轴不相交.证明Ind(γ)=0.

11.设γ1,γ2是9中那样的曲线,|γ1-γ2|<|γ1|.证明Ind(γ1)=Ind(γ2).

12.设f是复平面内的连续复函数,设有正整数n及复数c,c不等于0,满足lim(|z|->+inf)z^(-n)f(z)=c,
那么至少有一个复数z使f(z)=0.(这是代数学基本定理的推广).

13.设D是复平面中的单位闭圆盘,g是把D映到单位圆T的连续映射.证明存在z属于T,g(z)=-z.

14.证明把单位闭圆盘D映到单位闭圆盘D的连续映射有不动点.

15.证明lim(n->+inf)n^(1/2)∫(-1,1)(1-x^2)^ndx=(pi)^(1/2).

第九章
1.f是定义在开集E属于R^n的实值函数,诸偏导数D1f,D2f...Dnf在E内有界.证明f在E内连续.

2.设f是连通开集E属于R^n到R^m的可微映射,对每个x属于E,f'(x)=0.证明f在E中是常量.

3.设0<a<b,由f1(s,t)=(b+acoss)cost,f2(s,t)=(b+acoss)sint,f3(s,t)=asins,定义R^2到R^3的映射(s,t)->(f1,f2,f3).
(1)描述f的值域K.
(2)设λ是无理实数,规定g(t)=f(t,λt),证明g是把R映满K的某个稠密子集的1-1映射.证明|g'(t)|^2=
a^2+λ^2(b+acost)^2.

4.设f是R1到R3的满足|f(t)|=1的可微映射,证明f'(t)f(t)=0.并解释其几何意义.

5.设f=(f1,f2)为由f1(x,y)=e^xcosy,f2(x,y)=e^xsiny给出的R^2到R^2的映射.
(1)求f的值域.
(2)证明f的函数行列式在每一点不为0,从而对R^2中每个点,存在一个邻域使f是1-1的.证明f在R^2上不是1-1的.
(3)坐标轴的平行线在f下的像是什么?

6.对于(x,y)不等于(0,0),用f1(x,y)=x^2-y^2/(x^2+y^2),f2(x,y)=xy/(x^2+y^2)来定义f=(f1,f2).
计算f'(x,y)的秩,并求f的值域.

7.证明方程组:3x+y-z+u^2=0,x-y+2z+u=0,2x+2y-3z+2u=0能把x,y,u用z解出,能把x,z,u用y解出,能把z,y,u用x解出,但不能把x,y,z用u解出.