Ⅰ关联公理
1.对于两点A和B，恒有一直线a，它同A和B这两点的每一点相关联
2.对于两点A和B，至多有一直线，它同A和B这两点的每一点相关联
3.一直线上恒至少有两点，至少有三点不在同一直线上
4.对于不在同一直线上的三点A，B和C，恒有一平面α，它同A，B和C这三点的每一点相关联。对于任一平面，恒有一点与这平面相关联
5.对于不在同一直线上的三点A，B和C，至多有一平面 α，它同A，B和C这三点的每一点相关联
6.若一直线a的两点A和B在一平面α上，则a的每一点都在平面α上
7.若两平面α和β有一公共点A，则它们 至少还有一公共点B
8.至少有四点不在同一平面上

Ⅱ顺序公理
1.若一点B在点A和C之间，A，B和C是一直线上的不同的三点，这时，B也在C和A之间
2.对于两点A和C，直线AC上恒至少有一点B，使得C在A和B之间
3.一直线的任意三点中，至多有一点在其它两点之间
4.设A，B和C是不在同一直线上的三点：设a是平面ABC的一条直线，但不通过A，B，C这三点中的任一点。若直线a通过AB的一点，则它必定也通过线段AC的一点，或线段BC的一点

Ⅲ合同公理
1.设A和B是一直线a上的两点，A'是这直线或另一直线a'上的一点，而且给定了直线a'上A'的一侧，则在直线a'上A'的这一侧，恒有一点B'，使得线段AB和线段A'B'合同或相等；用记号表示，即AB≡A'B'
2.若两线段A'B'和线段A''B''都和另一线段AB合同，则这两线段A'B'和A''B''也合同；简言之；若两线段都和第三条线段合同，则它们彼此也将合同
3.设两线段AB和BC在同一直线a上，无公共点，而且两线段A'B'和B'C'在这直线或另一直线a'上亦无公共点。若AB≡A'B'而且BC≡B'C'，则AC≡A'C'
4.设给定了一平面α上的一个角∠(h，k)，一平面α'上的直线a'，和在α'上a'的一侧。设h'是α'上的，从一点O'起始的一条射线，则平面α'上恰有一条射线k'，使∠(h，k)和∠(h'，k')合同或相等，而且使∠(h'，k')内部在a'的这给定了的一侧；用记号表示，即∠(h，k)≡∠(h'，k')。每一个角和它自己合同，即∠(h，k)≡∠(h，k)
5.若三角形ABC和三角形A'B'C'有下列合同式AB≡A'B'，AC≡A'C'，∠BAC≡∠B'A'C'则也恒有合同式∠ABC≡∠A'B'C'

Ⅳ（欧几里得公理）设a是任一直线，A是a外的任一点，在a和A所肯定的平面上，至多有一条直线通过A，而且不和a相交

Ⅴ
1.（度量公理或阿基米德公理）若AB和CD是任意两线段，99则必存在一个数n使得沿A到B的射线上，自A作首尾相接的n个线段CD，必将越过B点
2.（直线完备公理）一直线上的点集，连同其顺序关系和合同关系不可能再这样地扩充，使得这直线上原来元素所具有的关系，从公理Ⅰ~Ⅲ所推出的直线的顺序与合同的基本性质以及公理Ⅴ1仍旧保持

在此感谢数学吧的 futoneeeee

@futoneeeee

终于来人了

这是临时置顶贴

另外科普下希尔伯特

大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862年1月23日—1943年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡，1943年在德国哥廷根逝世。他因为发明和发展了大量的思想观念（例如：不变量理论、公理化几何、希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家。希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献。他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一。

以上公理处自希尔伯特【几何基础】

再普及下希尔伯特空间

在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。