林德曼－魏尔斯特拉斯定理

林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果α1,...,αn是代数数，在有理数ℚ内是线性独立的，那么在ℚ内是代数独立的；也就是说，扩张域在ℚ内具有超越次数n。
一个等价的表述是：如果α1,...,αn是不同的代数数，那么指数在代数数范围内是线性独立的。
这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α，eα都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。
这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。

e和π的超越性
e和π的超越性是这个定理的直接推论。
假设α是一个非零的代数数，那么{α}在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，{eα}是一个代数独立的集合，也就是说，eα是超越数。特别地，e1
= e是超越数。
另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果α是一个非零的代数数，那么{0, α}就是不同的代数数的集合，因此集合在代数数范围内是线性独立的，特别地，eα不能是代数数，因此一定是超越数。
现在，我们来证明π是超越数。如果π是代数数，2πi也是代数数（因为2i是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，
e2πi = 1（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。
把这个证明稍微改变以下，可以证明如果α是一个非零的代数数，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它们的双曲函数也是超越数。

p进数猜想
p进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设p是素数，α1,...,αn是p进数，它们都是代数数，且在Q内线性独立，使得对于所有的i，都有。那么p进指数在Q内是代数独立的。

资料来源：wikipedia