感觉对一致收敛这个概念从几何和代数上都没明白...
太tm晕了!

常数项级数有收敛与发散的概念
而函数项级数在选定自变量x后就变成了常数项级数。
因此函数项级数有“在x点收敛/发散”的概念，这是不难理解的。
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所谓在某区间上“点点收敛”，无非就是对于这个区间上任何一个x 这个函数项级数都收敛。这个也不是很难理解。
但是，“点点收敛”的要求在很多情况下已经太弱（不够用），所以需要引入“一致收敛”的概念。

对比一下 函数项级数的 一致收敛 比 点点收敛 要求强在哪里

所谓的"N不依赖x"就是这个意思。
图片中的最后一行是某些数学分析书上的写法，和上面的写法是等价的。

另外，书上先讲“函数数列的一致收敛性”后讲“函数项级数的一致收敛性”，其实函数项级数(一致)收敛 等价于 部分和函数数列(一致)收敛。

比如说 函数项级数∑(f【n】(x)) 其中【n】是下标。
如果f【n】(x)=x^(n+1)-x^n ，则S【n】(x)=x^(n+1) - x。
容易知道，当-1<x≤1时，lim(n→∞) S【n】(x)是存在的。
其中，-1<x<1时lim(n→∞) S【n】(x) = -x； 而 lim(n→∞) S【n】(1) = 0。
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在这里，出现了一个问题：级数的一般项f【n】(x)都是连续的，但是 和函数（就是 部分和函数 的极限） 在收敛域-1<x≤1上并不连续。
仔细验证发现它不满足一致收敛性。

注意：1.函数项级数一致收敛要针对某个区间（或者点集）才能说。比如说上述的级数
在(-1,1]点点收敛但不一致收敛；在[-0.9,0.9]一致收敛。
2.在某区间上一致收敛是连续的充分条件，但不是必要条件。
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仔细地研究上述级数，会发现它其实在(-1,1)上并不具有一致收敛性。但是，它对于任何(-1,1)的闭子区间都是一致收敛的（为什么？N不依赖x的意思是 N适用于某区间上的所有x 。但是N当然是可以依赖区间的选定的）。
这种情况的性质叫 内闭一致收敛性 。
关于连续性 可导性 的定理 中的“一致收敛”的要求都可以改成“内闭一致收敛”。（对于可积性 由于涉及无穷积分或者瑕积分，不能轻易定论。）

关于一致收敛的判定其实并不是最大的难点。
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只要记住 一致收敛的概念 就能轻易地证明很多判定方法。其中可能要用到常数项级数的收敛判定法。
记不住判定方法也不用担心，大不了就用定义来判定。当然，记住了更好。
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幂级数作为一个很重要的函数项级数被单独拿出来讲。
其实只需要之前的知识就可以验证幂级数的各种性质。
其实就是Abel第一引理（收敛半径 内部绝对收敛且内闭一致收敛；外部发散）。
至于Abel第二引理（10.5 的定理4），证明需要用到某判别法。不过直观上很好理解。
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关于一致收敛的概念 适用于实变也适用于复变。
复变除了多值虐人以外其实没什么困难的（相对于实的微积分），而且由于“解析性”强大的要求（柯西定理）甚至比实变还要简单些。（这也是为什么 实分析 比 复分析 难的原因。复分析研究的解析函数性质太好。）

挖个坟+Abel第二引理（实数情形）

如果是复数，据说只要“倾角一致低于90°”也能有类似的结论成立。

顶上去一下。